【BZOJ2669】【JZOJ4700】Garden
Description
有一个n行m列的整数矩阵，其中1到nm之间的每个整数恰好出现一次。如果一个格子比所有相邻格子（相邻是指有公共边或公共顶点）都小，我们说这个格子是局部极小值。
给出所有局部极小值的位置，你的任务是判断有多少个可能的矩阵。
原题
Data Constraint
Solution
对于20%的数据直接暴力即可。
对于另30%的数据，可以发现局部极小值最多只有8个，可以用状压dp。
对于一个合法的数填写方案，其中的数放置的顺序对其是没有影响的，所以我们把数从小到大填进去。我们用
Fi,S
表示当前填到第
i
个数，“X”被填的状态是
如果我们填的是一个非“X”的格子，我们记没有被填的“X”和它周围的格子的个数是tot，那么这tot个格子都不能填（因为我们填入的是一个非“X”的格子，而且格子周围的数要比格子大，那么我们从小到大填的话必须先填“X”）。那么能填入的位置就有
nm−tot−i+1
个。我们预处理出一个数组
RestS
记录
S
这个状态的
如果我们填的是“X”的格子呢？那么我们可以从没有填这个“X”的状态转移过来。
于是转移方程就可以得出：
Fi,S=Fi−1,S(RestS−i+1)+∑j∈SFi−1,S−j
那么就可以过30%的数据了。
对于100%的数据，如果直接用上面的转移，那么一些被“.”包围的“.”被填入的数小于周围的数的方案数会被统计进答案，所以我们需要用 dfs 找出所有被“.”包围的“.”，然后强制把这个位置改成“X”，计算方案数，然后再容斥一下即可。
Code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define N 11
#define ll long long
#define M 1100
#define mo 12345678
using namespace std;
int n,m;
char ss[N];
int map[N][N];
int rest[M];
int p=0;
ll f[N*N][M];
int fx[8][2]={{-1,-1},{-1,0},{-1,1},{0,-1},{0,1},{1,-1},{1,0},{1,1}};
struct node{
int x,y;
}b[N],z[M];
bool bz[N][N];
int cnt;
ll find()
{
p=0;
fo(i,1,n)
fo(j,1,m)
if(map[i][j])
{
p++;
b[p].x=i;
b[p].y=j;
}
fo(s,0,(1<<p)-1)
{
memset(bz,0,sizeof(bz));
fo(i,1,p)
if(!((1<<i-1)&s))
{
bz[b[i].x][b[i].y]=true;
fo(j,0,7)
{
int x=b[i].x+fx[j][0],y=b[i].y+fx[j][1];
if(x<1 || x>n || y<1 || y>m) continue;
bz[x][y]=true;
}
}
int tot=0;
fo(i,1,n)
fo(j,1,m)
if(bz[i][j]) tot++;
rest[s]=n*m-tot;
}
memset(f,0,sizeof(f));
f[0][0]=1;
fo(i,1,n*m)
fo(s,0,(1<<p)-1)
{
f[i][s]=f[i-1][s]*(rest[s]-i+1)%mo;
fo(j,1,p)
if(s&(1<<j-1))
f[i][s]=(f[i][s]+f[i-1][s-(1<<j-1)])%mo;
}
return f[n*m][(1<<p)-1]%mo;
}
ll ans=0;
void dfs(int dep,int t)
{
if(dep>cnt)
{
ll tmp=find();
if(t%2) ans=(ans-tmp+mo)%mo;
else ans=(ans+tmp)%mo;
return;
}
dfs(cnt+1,t);
fo(k,dep,cnt)
{
bool tf=true;
fo(i,0,7)
{
int x=z[k].x+fx[i][0],y=z[k].y+fx[i][1];
if(x<1 || x>n || y<1 || y>m) continue;
if(map[x][y])
{
tf=false;
break;
}
}
if(tf)
{
map[z[k].x][z[k].y]=1;
dfs(k+1,t+1);
map[z[k].x][z[k].y]=0;
}
}
}
bool check()
{
bool tf=true;
int X=0;
fo(i,1,n)
{
fo(j,1,m)
if(map[i][j])
{
X++;
fo(k,0,7)
{
int x=i+fx[k][0],y=j+fx[k][1];
if(x<1 || x>n || y<1 || y>m) continue;
if(map[x][y])
{
tf=false;
break;
}
}
if(!tf) break;
}
if(!tf) break;
}
if(!X) tf=false;
return tf;
}
int main()
{
int T;
cin>>T;
while(T--)
{
scanf("%d %d",&n,&m);
p=0;
fo(i,1,n)
{
scanf("%s",ss+1);
fo(j,1,m) map[i][j]=(ss[j]=='X');
}
if(!check())
{
printf("0\n");
continue;
}
cnt=0;
fo(i,1,n)
fo(j,1,m)
if(!map[i][j])
{
bool tf=true;
fo(k,0,7)
{
int x=i+fx[k][0],y=j+fx[k][1];
if(x<1 || x>n || y<1 || y>m) continue;
if(map[x][y])
{
tf=false;
break;
}
}
if(tf)
{
cnt++;
z[cnt].x=i;
z[cnt].y=j;
}
}
ans=0;
dfs(1,0);
printf("%lld\n",ans);
}
}