【JZOJ4770】闭门造车

Description

自从htn体验了一把飙车的快感，他就下定决心要闭门造车！但是他两手空空怎么造得出车来呢?无奈的他只好来到了汽车零部件商店。
一走进商店，玲琅满目的各式零件看得htn眼花缭乱。但是他很快便反应过来:我只要买一套好的零件就行。首先它们的性能差不能太大，否则汽车的兼容性不好，开着开着就损坏了；其次，当然是越便宜越好了！为了打造一辆顶级跑车，htn陷入了沉思……
现在商店中有 N 件零件，给出这 N 件零件的价格，其性能等于价格。htn要从中购买一套零件，即选取这个序列的一个子串（连续一段）。要求如下：
1、这一套零件个数要大于等于2（这才算一套）。
2、这套零件的性能差为首尾两个零件的性能差（htn觉得每一个都比较性能差实在是太累了）。
3、购买这套零件的价格和为它们各自价格的总和。
4、最终的总花费为 性能差²+价格和²。
5、由于商店最近有优惠活动，所以每一套零件的第一个都是免费的。对此毫无经验的htn只好向经验丰富的你求助了。

Solution

注意观察，我们猜想一个性质，选相邻的两个数是最优答案。

数据过了！

然后我们开始证明：……

被推翻了！

显然，这个性质是不正确的，手玩几个数据都能推翻。

那么，这题正解怎么做呢？

我们对于一个区间 [i,j] 它们的花费是（ sumi 表示 i 的前缀和）：
(aj−ai)2+(sumj−sumi)2

是不是补个根号就像是两点距离！

那么，我们对于一个数 ai ，用它创造一个点 (ai,sumi) ，然后这就是平面最近点对的问题了。

于是分治乱搞就行了。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define N 100001
#define inf 9999999999999ll
#define ll long long
using namespace std;
struct node
{
    ll x,y;
}b[N],fl[N];
ll sqr(ll x) {
    return x*x;
}
bool cmp(node x,node y)
{
    if(x.x==y.x) return x.y<y.y;
    else return x.x<y.x;
}
bool cmp1(node x,node y)
{
    return x.y<y.y;
}
ll dis(node x,node y)
{
    return sqr(x.x-y.x)+sqr(x.y-y.y);
}
int cnt=0;
ll fz(int l,int r)
{
    ll d=inf;
    if(l==r) return d;
    if(l+1==r) return sqr(b[l].x-b[r].x)+sqr(b[l].y-b[r].y);
    int mid=(l+r)/2;
    ll d1=fz(l,mid);
    ll d2=fz(mid+1,r);
    d=min(d1,d2);
    cnt=0;
    fo(i,l,r)
    if(sqr(b[i].x-b[mid].x)<=d) fl[++cnt]=b[i];
    sort(fl+1,fl+cnt+1,cmp1);
    fo(i,1,cnt)
    fo(j,i+1,cnt)
    {
        if(sqr(fl[i].y-fl[j].y)>=d) break;
        ll t=dis(fl[i],fl[j]);
        if(d>t) d=t;
    }
    return d;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    ll s=0;
    fo(i,1,n)
    {
        ll x;
        scanf("%lld",&x);
        s+=x;
        b[i].x=x;
        b[i].y=s;
    }
    sort(b+1,b+n+1,cmp);
    cout<<fz(1,n);
}