【JZOJ3780】Magical GCD

Description

对于一个由正整数组成的序列， Magical GCD 是指一个区间的长度乘以该区间内所有数字的最大公约数。给你一个序列，求出这个序列最大的 Magical GCD。

Solution

暴力做法是枚举左端点右端点求最大值。

现在考虑另一种暴力，我们先枚举一个右端点，设 gi 表示 [i,r] 的 gcd 是什么。那么随着 r 的增大，gi一定单调不上升。

于是我们每次把 r 增加的时候就更新gi的值，然后求最大值即可。

然而有没有优化呢？

我们发现， gi 会有很多重复，且重复是连续的。其实 gi 最多只有 log2(max{ai}) 个取值（其实远远不到），那么对于重复的只要保留第一个即可。

下面感性证明一下 gi 不同的取值，我们假设有一个集合 {a} ，一开始只有一个很大的数，第 i 次有一个数p，然后集合增加一个 gcd(p,ai−1) 的数。现在我们要让集合大小最大，也就是 ai=12ai−1 ，那么长度最多是 log2a1 。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define N 100001
#define ll long long
using namespace std;
ll a[N];
ll gcd(ll x,ll y)
{
    ll z;
    while(x%y)
    {
        z=x%y;
        x=y;
        y=z;
    }
    return y;
}
ll g[N];
int nx[N],ls[N];
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        fo(i,1,n) scanf("%lld",&a[i]),g[i]=a[i];
        fo(i,1,n) nx[i]=i+1,ls[i]=i-1;
        ll ans=0;
        fo(r,1,n)
        for(int i=1;i<=r;i=nx[i])
        {
            ll t=gcd(g[i],a[r])*(r-i+1);
            if(ans<t) ans=t;
            g[i]=gcd(g[i],a[r]);
            if(g[i]==g[ls[i]])
            {
                nx[ls[i]]=nx[i];
                ls[nx[i]]=ls[i];
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}