【JZOJ4919】神炎皇

Description

神炎皇乌利亚很喜欢数对，他想找到神奇的数对。
对于一个整数对(a,b)，若满足a+b<=n且a+b是ab的因子，则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢？

Solution

设 gcd(a,b)=d,a′=ad,b′=bd
则有 a′+b′|a′b′d
因为 gcd(a′,b′)=1 ，所以 a′+b′ 不可能是 a′b′ 的因子。
则 a′+b′|d 。
因为 (a′+b′)d≤n ，所以 a′+b′≤n−−√ 。
设 k=a′+b′ ，那么因为 k2≤n ，所以 k≤nk 。
又因为 k|d ，所以 k≤nk2 。
接下来是求符合 a′,b′ 的对数，因为 gcd(a′,b′)=1 ，所以 gcd(a′,a′+b′)=1 ，然后线性筛法求欧拉函数即可。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define ll long long
#define N 10000010
using namespace std;
ll pr[N/10],phi[N];
bool bz[N];
void get()
{
    int cnt=0;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!bz[i]) pr[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=cnt && i*pr[j]<N;j++)
        {
            bz[i*pr[j]]=true;    
            if(i%pr[j]==0)
            {
                phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];
                break;
            }
            else phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-1);
        }
    }
}
int main()
{
    freopen("uria.in","r",stdin);
    freopen("uria.out","w",stdout);
    get();
    ll n,ans=0;
    scanf("%lld",&n);
    for(ll i=2;i*i<=n;i++)
    ans+=n/(i*i)*phi[i];
    printf("%lld",ans);
}