【JZOJ5482】第三题

Description

sl想打dota2了，但他现在在机房，而且yz就在他旁边，他自然不能玩dota2这种这么容易被发现(鼠标、键盘发出啪啪啪的声音，眼睛中射出诡异的光）的游戏，所以他只好打开了一个小游戏。这个小游戏是这样的：在一个平面上有n个A类点（从1～n编号），m个B类点（从1～m编号）。A类点很团结，他们想用n-1条边将他们连成一棵树；B类点也想用m-1条边连成一棵树（边不可弯曲）。但这些边都不能在非AB类点出相交。如果成功连边则过关。
sl有个不好的习惯：如果没有过关，他就会气得砸键盘。如果在平时，没有什么关系（因为sl不喜欢运动，只喜欢打游戏，以他的力气砸不坏键盘）；然而此时yz在他旁边，他一砸键盘，yz就知道他在打游戏了，一定会狠狠地D他一顿。凭sl那点可怜的智商，当然过不了关啦，所以为了拯救sl，你只好教他玩了。

Solution

题意即：在平面上给出两类点，没有三点共线，用两棵不相交的树分别将两类点连通，树边不能相交。

题解给出了一种十分巧妙的构造法：设 g(x) 表示x属于哪一类点，同时设一个函数 f(x,y,z) 表示以 x,y,z 三点围成的三角形以及内部所有点的一种构造，且满足 g(x)=g(y) ， g(x)≠g(z) 。于是对于每个 f(x,y,z) ，我们要么能在三角形内部找到一个点 p 使得g(p)=g(z)，然后以 f(p,z,x) ， f(p,z,y) ， f(x,y,p) 继续往下构造，要么内部所有点与 x 的类别相同。那么我们此时可以放射状连边构造。容易感受，这种构造方法是满足的。

接下来就是如何划分出一个个三角形。我们可以对原点集求一次凸包，此时有几种情况：

1. 凸包上的某一类点不连续（沿一个时针方向），那么肯定无解。
2. 凸包上全是一类点：那么肯定可以在内部找到一个另类点，与凸包上的点构成许多三角形，同时满足f的性质。
   • 凸包上有两类点，每类点连续。那么我们也可以构成许多三角形，满足 f <script type="math/tex" id="MathJax-Element-2785">f</script>的性质。

   • Code

     #include<cstdio>
     #include<cstdlib>
     #include<cstring>
     #include<algorithm>
     #define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;++i)
     #define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;--i)
     #define N 3010
     #define ll long long
     using namespace std;
     struct node{
         int x,y,fr,wz;
     }a[N],an[2][N];
     int pos,su=0;
     int n,m;
     bool vis[N],in[N][N];
     int num[2],f[N];
     ll abss(ll x){
         return x<0?-x:x;
     }
     ll cross(int i,int j,int o){
         int X1=a[i].x-a[o].x,Y1=a[i].y-a[o].y,X2=a[j].x-a[o].x,Y2=a[j].y-a[o].y;
         return (ll)X1*Y2-(ll)X2*Y1;
     }
     ll area(int i,int j,int o){
         return abss(cross(i,j,o));
     }
     bool cmp(node x,node y){
         int X1=x.x-a[1].x,Y1=x.y-a[1].y,X2=y.x-a[1].x,Y2=y.y-a[1].y;
         return ((ll)X1*Y2-(ll)X2*Y1)>0;
     }
     int st[N],top=0;
     int d[N];
     void get(int u,int v,int w){
         d[0]=0;
         fo(i,1,n) if(!vis[i] && area(u,v,i)+area(u,w,i)+area(v,w,i)==area(u,v,w)) d[++d[0]]=i;
     }
     void put(int u,int v){
         int co=a[u].fr;
         if(in[u][v]) return;
         su++;
         in[u][v]=in[v][u]=1;
         an[co][++num[co]].x=a[u].wz,an[co][num[co]].y=a[v].wz;
     }
     void work(int u,int v,int w){
         get(u,v,w);
         int p=0;
         fo(i,1,d[0]) if(a[d[i]].fr==a[w].fr) {p=d[i];break;}
         if(!p){
             put(u,v);
             fo(i,1,d[0]) if(a[d[i]].fr==a[u].fr) put(d[i],u);
             return;
         }
         vis[p]=true;
         work(u,v,p),work(p,w,u),work(p,w,v);
     }
     int main()
     {
         scanf("%d %d",&n,&m);
         fo(i,1,n) scanf("%d %d",&a[i].x,&a[i].y),a[i].wz=i;
         fo(i,1,m) scanf("%d %d",&a[i+n].x,&a[i+n].y),a[i+n].fr=1,a[i+n].wz=i;
         pos=1;
         n+=m;
         fo(i,2,n) if(a[i].y<a[pos].y) pos=i;
         fo(i,1,n) f[i]=i;
         swap(a[pos],a[1]);
         sort(a+2,a+n+1,cmp);
         st[++top]=1,st[++top]=2;
         fo(i,3,n){
             while(top>1 && cross(i,st[top],st[top-1])>0) top--;
             st[++top]=i;
         }
         bool tp=0;
         fo(i,1,top){
             vis[st[i]]=1;
             if(i>1 && a[st[i]].fr!=a[st[i-1]].fr) tp=1;
         }
         if(!tp){
             int pt=0;
             fo(i,1,n)
             if(!vis[i] && a[i].fr!=a[st[1]].fr) {pt=i;break;}
             vis[pt]=1;
             fo(i,2,top) work(st[i],st[i-1],pt);
             in[st[1]][st[top]]=1,work(st[1],st[top],pt);
             fo(i,1,num[0]) printf("%d %d\n",an[0][i].x,an[0][i].y);
             fo(i,1,num[1]) printf("%d %d\n",an[1][i].x,an[1][i].y);
             return 0;
         }
         int col=a[st[1]].fr;
         while(a[st[1]].fr==col) fo(i,2,top) swap(st[i],st[i-1]);
         int np=1,nq;
         fo(i,2,top) if(a[st[i]].fr!=a[st[1]].fr) break;
         else np=i;
         fo(i,np+2,top) if(a[st[i]].fr!=a[st[np+1]].fr){
             printf("GG!");
             return 0;
         }
         nq=top-np;
         fo(i,2,np) work(st[i-1],st[i],st[np+1]);
         fo(i,np+2,top) work(st[i-1],st[i],st[1]);
         fo(i,1,num[0]) printf("%d %d\n",an[0][i].x,an[0][i].y);
         fo(i,1,num[1]) printf("%d %d\n",an[1][i].x,an[1][i].y);
         printf("%d\n",su);
     }