【Codeforces Round #268(Div 1)】Tree

Description

有一棵树， d(u,v) 表示 u ，v之间最短距离。
现在要求一个排列 pi ，使得 ∑ni=1d(i,pi) 最大，同时满足最大时字典序最小。

Solution

对于一条边，我们肯定希望它被计算尽量多次，若左右端点连出去的节点个数分别为 x ,y，那么该边的最大贡献为 val×min(x,y)×2 ，于是选择重心来构造恰好能满足（如下）。

先把式子写出来：

∑i=1nd(i,pi)=∑i=1n(depi+deppi−2deplca(i,pi))=2∑i=1ndepi−∑i=1n2deplca(i,pi)

选定一个根，每对点不能出现在根直接连下去的同一棵子树中。
对于根直接连向的每棵子树，设大小为 k ，子树内的点可以和子树外的n−k个点匹配，同时这 k 个点都要被匹配，那么k≤n−k， k≤⌊n2⌋ 。那么选择树的重心为根就能满足。

于是我们抛开权值，只用找字典序最小的排列。

对于当前将要匹配 i ，要找到最小的pi，同时满足不同根直属子树。设当前子树有 x 个未匹配的（即编号大于i的个数），以及有 y 个未被匹配的（在这棵子树中不出现在已确定pi中的编号），那么满足 x≤n−i+1−y ，即 x+y≤n−i+1 。对于一棵子树满足 x+y=n−i+1 ，那么当 i+1 时， x 或y要减 1 。此时分两种情况：

1. i在这棵子树内，那么可以直接和子树外的匹配，使得 x−1 。
   • i 不在这棵子树内，那么必须选择这棵子树内的匹配，使得y−1。

   • 若当前没有满足等式的情况，直接选择与 i 不同子树匹配即可。
     （对于每次匹配，选择编号最小的）
     至于重心，当满足等式时，那么必须选择那棵子树，如不满足，则匹配最小编号（可以匹配自己）。

     于是可以用线段树维护，对每个子树开一个位置，存储x， y <script type="math/tex" id="MathJax-Element-2518">y</script>，以及被匹配了多少个。