【JZOJ5765】相互再归的鹅妈妈

Description

给出一个01串，代表一个二进制数R，求包含n个非负整数、且每个整数的二进制小于R的集合个数。

Solution

先考虑有序的，可重集怎么求，最后再除以n!。设 gi g i 表示人数为 i i 允许出现相同的满足条件的集合数，对于一个人的二进制位，我们在一个R是1的位置填上0，这以后的数位都可以任意填，且对于其他人的无论怎么填，这个人有唯一一种填法可以使之成立。
对于奇数个人，只能在最高位就填0来保证，所以直接计算即可，而对于偶数个人，枚举在哪一位开始填0，枚举有多少对1，计数一下（含糊，留坑）

假装我们求出了g，我们可以枚举n(n−1)/2$n(n-1)/2$中关系（及选相同的数）的出现情况来容斥，这样会把原来的人归为几个块，块中人选择的数相同，对于大小为偶数的块，无论它们填什么数异或和都为0，对于奇数的块就当成一个人来处理，复杂度勉强能过。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;++i)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;--i)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=8,M=5e4+10,mo=1e9+7;
char S[M];
int a[M*100];
ll c[N][N],vl[M*100],g[N],z[M*N*100];
ll jc[N];
void add(ll &x,ll y){
    x+=y,x>=mo?x-=mo:x;
}
ll pow(ll x,int y){
    ll b=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%mo) if(y&1) b=b*x%mo;
    return b;
}
struct node{
    int x,y;
}b[25];
int n,tot=0;
int d[25],f[N],sz[N];
bool bz[N];
ll ans=0;
int find(int x){
    return !f[x]?x:f[x]=find(f[x]);
}
void dfs(int x,int t,int z){
    if(x>tot){
        mem(f),mem(bz);
        fo(i,1,n) sz[i]=1;
        fo(i,1,t){
            int fx=find(b[d[i]].x),fy=find(b[d[i]].y);
            if(fx!=fy) f[fy]=fx,sz[fx]+=sz[fy];
        }
        fo(i,1,n) bz[find(i)]=1;
        int cn1=0,cn2=0;
        fo(i,1,n) if(bz[i]) sz[i]&1?cn1++:cn2++;
        ans=(ans+g[cn1]*pow(vl[1],cn2)%mo*z+mo)%mo;
        return;
    }
    dfs(x+1,t,z);
    d[t+1]=x,dfs(x+1,t+1,-z);
}
int main()
{
    freopen("mothergoose.in","r",stdin);
    freopen("mothergoose.out","w",stdout);
    int m,k;
    scanf("%d %d",&n,&k);
    scanf("%s",S+1),m=strlen(S+1);
    fo(j,0,k-1)
    fo(i,1,m) a[i+j*m]=S[i]-'0';
    m*=k,z[0]=1;
    fo(i,1,m*n) z[i]=z[i-1]*2%mo;
    fd(i,m,1) vl[i]=(vl[i+1]+z[m-i]*a[i])%mo;
    c[0][0]=1;
    fo(i,1,n){
        c[i][0]=1;
        fo(j,1,i) add(c[i][j],c[i-1][j-1]+c[i-1][j]);
    }
    g[0]=1;
    fo(i,1,n){
        bool tf=false;
        fo(j,1,m){
            if(!a[j]) continue;
            if(!tf || !(i&1))
            for(int k=0;k<=i-1;k+=2)
            add(g[i],c[i][k]*pow(vl[j+1],k)%mo*z[(m-j)*(i-1-k)]%mo);
            tf=true;
        }
    }
    fo(i,1,n-1)
    fo(j,i+1,n) b[++tot].x=i,b[tot].y=j;
    dfs(1,0,1);
    jc[0]=1;
    fo(i,1,n) jc[i]=jc[i-1]*i%mo;
    printf("%lld",ans*pow(jc[n],mo-2)%mo);
}