【JZOJ5796】划分

Description

有一个未知的序列x，长度为n。它的K-划分序列y指的是每连续K个数的和得到划分序列，y[1]=x[1]+x[2]+….+x[K]，y[2]=x[K+1]+x[K+2]+….+x[K+K]….。若n不被K整除，则y[n/K+1]可以由少于K个数加起来。比如n=13，K=5，则y[1]=x[1]+…+x[5]，y[2]=x[6]+….+x[10]，y[3]=x[11]+x[12]+x[13]。若小A只确定x的K[1]划分序列以及K[2]划分序列….K[M]划分序列的值情况下，问她可以确定x多少个元素的值。

Solution

一对 ai a i ， aj a j 能确定至少一个元素的条件，为 gcd(ai,aj)=1 g c d ( a i , a j ) = 1 。然后我们考虑哪些位置可以被确定，大概就是满足 x≡0(mod ai),x≡1(mod aj) x ≡ 0 ( m o d   a i ) , x ≡ 1 ( m o d   a j ) 之类的。
考虑怎么求这个东西，我们枚举每个 ai a i 的情况（不选，取模为0或1），然后把同余方程分类，用扩展欧几里得算一下，容斥系数就是(-1)的选的个数次方。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;++i)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;--i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M=12;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll t=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return t;
}
ll gcd(ll a,ll b){
    return !b?a:gcd(b,a%b);
}
int a[M];
int n,m;
int ans=0;
void dfs(int now,ll p1,ll p2,int z){
    if(p1>n || p2>n) return;
    if(now>m){
        if(p1==1 || p2==1) return;
        ll x=0,y=0;
        ll t=exgcd(p1,p2,x,y);
        if(t>1) return;
        x=(x%p2+p2)%p2;
        if((ll)p1*x>n) return;
        ans+=z*((n-p1*x)/(p1*p2)+1);
        return;
    }
    dfs(now+1,p1,p2,z);
    dfs(now+1,p1*a[now]/gcd(p1,a[now]),p2,-z);
    dfs(now+1,p1,p2*a[now]/gcd(p2,a[now]),-z);
}
int main()
{
    freopen("sazetak.in","r",stdin);
    freopen("sazetak.out","w",stdout);
    scanf("%d %d",&n,&m);
    fo(i,1,m){
        scanf("%d",&a[i]);
        if(!ans && n%a[i]==1) ans++;
    }
    if(ans) n--;
    dfs(1,1,1,1);
    printf("%lld",ans);
}