【LOJ#570】Misaka Network 与任务

Description

https://loj.ac/problem/570

Solution

设 Ci C i 表示二进制数等于 i i 的人数，再设Gki$G_i^k$表示 k k 个人and$and$起来等于 i i 的方案数。

考虑从易入手，k=2$k=2$时的方案数式子是这样： G2i=∑j and k=iCj×Ck G i 2 = ∑ j   a n d   k = i C j × C k 。
这就是很经典的一个集合 and a n d 卷积，考虑用FWT解决（这题其实就是 C C 卷自己k$k$次），求出 FWT(C) F W T ( C ) 后对位求 k k 次幂即可。

关于FWT（and$and$运算）：

设 A A ，B$B$为 2n 2 n 次方维的向量， A+B A + B 、 A⋅B A ⋅ B 满足向量运算规则，特殊定义一下 A and B A   a n d   B 为对位求 and a n d 卷积，即 {∑i and j=xAi×Bj}(x∈[0,2n)) { ∑ i   a n d   j = x A i × B j } ( x ∈ [ 0 , 2 n ) ) 。
设 A0,A1 A 0 , A 1 为 A A 前后2n−1$2^{n-1}$位， B0,B1 B 0 , B 1 同理。
定义变换：

FWT(A)={(FWT(A0+A1),FWT(A1))An>0n=0 F W T ( A ) = { ( F W T ( A 0 + A 1 ) , F W T ( A 1 ) ) n > 0 A n = 0

我们有 FWT(A+B)=FWT(A)+FWT(B) F W T ( A + B ) = F W T ( A ) + F W T ( B ) ，证明大概是 FWT(A) F W T ( A ) 中每一项由 A A 线性变换，还有FWT(A and B)=FWT(A)⋅FWT(B)$FWT(AandB)=FWT(A)\cdot FWT(B)$，证明如下（以下 and a n d 略去， FWT F W T 简写为 F F ）：

F(AB)=====F(A0B0+A0B1+A1B0,A1B1)(F(A0B0+A0B1+A1B0+A1B1),F(A1)⋅F(B1)))((F(A0)+F(A1))⋅(F(B0)+F(B1)),F(A1)⋅F(B1))(F(A0+A1),F(A1))⋅(F(B0+B1),F(B1))F(A)⋅F(B)$$\begin{array}{rl}F(AB)=& F(A_0{B}_0+A_0{B}_1+A_1{B}_0,A_1{B}_1)\\ =& (F(A_0{B}_0+A_0{B}_1+A_1{B}_0+A_1{B}_1),F(A_1)\cdot F(B_1)))\\ =& ((F(A_0)+F(A_1))\cdot (F(B_0)+F(B_1)),F(A_1)\cdot F(B_1))\\ =& (F(A_0+A_1),F(A_1))\cdot (F(B_0+B_1),F(B_1))\\ =& F(A)\cdot F(B)\end{array}$$

那么我们就可以开始变换了。

关于逆变换：

设 IFWT(A) I F W T ( A ) 为 A A 逆变换回去的向量（以下用FWT$FWT$简写为 F F ，IWFT$IWFT$简写为 f f ）：

f(F(A))==f(F(A0+A1),F(A1))f(F(A0)+F(A1),F(A1))$$\begin{array}{rl}f(F(A))=& f(F(A_0+A_1),F(A_1))\\ =& f(F(A_0)+F(A_1),F(A_1))\end{array}$$

那我们就可以构造一个逆变换 f(A)=(f(A0)−f(A1),f(A1)) f ( A ) = ( f ( A 0 ) − f ( A 1 ) , f ( A 1 ) ) ，就可以变换回去了。

这题的具体实现就是求一下 FWT(C) F W T ( C ) ，记为 C′ C ′ ，然后 G′i=C′ki G i ′ = C i ′ k ，最后 G=IFWT(G′) G = I F W T ( G ′ ) 。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;++i)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;--i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M=5e6+10,mo=1e9+7;
int a[M];
int read(){
    char ch=' ';int t=0;
    for(;ch<'0' || ch>'9';ch=getchar());
    for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar()) t=(t<<1)+(t<<3)+ch-48;
    return t;
}
ll pow(ll x,int y){
    ll b=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%mo) if(y&1) b=b*x%mo;
    return b;
}
void FWT(int *f,int n,int sig){
    for(int m=2;m<=n;m<<=1){
        int half=m>>1;
        for(int i=0;i<n;i+=m)
        fo(j,i,i+half-1) a[j]=(a[j]+a[j+half]*sig+mo)%mo;
    }
}
int main()
{
    int n=read(),m=read(),k=read();
    fo(i,1,m) a[read()]++;
    FWT(a,1<<n,1);
    fo(i,0,(1<<n)-1) a[i]=pow(a[i],k);
    FWT(a,1<<n,-1);
    ll ans=0;
    fo(i,1,(1<<n)-1) ans=(ans+a[i])%mo;
    printf("%lld\n",ans);
}