【JZOJ5922】sequence

Description

有m个区间加组合数操作，对于$l\le i\le r$，给$a_i$加上$C_{i-l+k}^k$，$a_i$初始为0，$k<=20$。问最后所有$a_i$的值。

Solution

做法很多。
可以对$k$分类，对于每个$k$，执行区间加的一个区间$[l,r]$的每个$i$相当于加上一个关于$i$的$k$次多项式，我们把多项式的系数求出来，那么区间操作相当于将这些系数进行累加，可以用差分，在$l$处打上这些系数，在$r+1$减去，最后只用求前缀和即可。

其实我们发现，对于一个三元组$(l,r,x)$，如果$r=n$，我们开一个$k\times n$的数组$b$，在$b_{k,l}$上$+1$，最后向上向右做前缀和，$b_{0,i}$就是答案，可以理解成为一个从$(k,l)$位置开始的向右上方的杨辉三角。对于$r<n$我们只要在每个$b_{i,r+1}$减去相应的值即可。实际上就是维护k阶差分。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;++i)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;--i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e5+50,mo=1e9+7;
ll c[N][22],b[N][22];
ll pow(ll x,int y){
	ll b=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%mo) if(y&1) b=b*x%mo;
	return b;
}
int main()
{
	freopen("sequence.in","r",stdin);
	freopen("sequence.out","w",stdout);
	int n,m;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	c[0][0]=1;
	fo(i,1,n+20){
		c[i][0]=1;
		fo(j,1,20) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mo;
	}
	while(m--){
		int l,r,k;
		scanf("%d %d %d",&l,&r,&k);
		b[l][k]++;
		fo(i,0,k) b[r+1][k-i]=(b[r+1][k-i]-c[r-l+i][i]+mo)%mo;
	}
	fd(j,20,0)
	fo(i,1,n) b[i][j]=(b[i][j]+b[i-1][j]+b[i][j+1])%mo;
	fo(i,1,n) printf("%lld\n",b[i][0]);
}