【JZOJ6067】More?More!
Description
n n n个人两两对战，对于 i ≤ j i\leq j i≤j， i i i有 p p p的概率赢，问对于每个 i ∈ [ 1 , n − 1 ] i\in[1,n-1] i∈[1,n−1]，存在一个子集 s s s， s s s中所有人都能打败非 s s s中集合的人的概率。
Solution
设
F
n
,
i
F_{n,i}
Fn,i表示
n
n
n个人
i
i
i的答案。
考虑
n
n
n加入进去，
F
n
,
i
=
(
1
−
p
)
n
−
i
F
n
−
1
,
i
−
1
+
p
i
F
n
−
1
,
i
F_{n,i}=(1-p)^{n-i}F_{n-1,i-1}+p^iF_{n-1,i}
Fn,i=(1−p)n−iFn−1,i−1+piFn−1,i。
考虑
1
1
1加入进去，
F
n
,
i
=
p
n
−
i
F
n
−
1
,
i
−
1
+
(
1
−
p
)
i
F
n
−
1
,
i
F_{n,i}=p^{n-i}F_{n-1,i-1}+(1-p)^iF_{n-1,i}
Fn,i=pn−iFn−1,i−1+(1−p)iFn−1,i。
联立即可得到线性递推式，注意到
p
=
1
2
p=\frac{1}{2}
p=21时式子无意义，单独算就是
C
n
i
(
1
2
)
i
(
n
−
i
)
C_n^i(\frac{1}{2})^{i(n-i)}
Cni(21)i(n−i)。
