分数规划

定义

求答案比值最大化最小化问题时，形如 \(a_i\) 和 \(b_i\)，求 \(x\in{\{0,1\}}\)

\[\frac{\sum_{i=1}^na_i\times x_i}{\sum_{i=1}^nb_i\times x_i} \]

解决

通常使用二分法，二分答案一个最大值 \(mid\)：

\[\frac{\sum_{i=1}^na_i\times x_i}{\sum_{i=1}^nb_i\times x_i}>mid \\ \Rightarrow \sum_{i=1}^na_i\times x_i>mid\times \sum_{i=1}^nb_i\times x_i \\ \Rightarrow \sum_{i=1}^na_i\times x_i-mid\times \sum_{i=1}^nb_i\times x_i>0 \\ \Rightarrow \sum_{i=1}^n x_i (a_i\times-mid\times b_i)>0 \]