【题解】洛谷P9400：三班不一般

P9400 「DBOI」Round 1 三班不一般

看到方案数想到 dp，因为有两个变量：每个灯与连续 \(a\) 个超过 \(b\) 的灯，所有我们的状态就设为 \(f_{i,j}\) 为到第 \(i\) 个灯形成了长度为 \(j\) 的连续超过 \(b\) 的灯。

\(h(x,l,r)\) 表示第 \(x\) 个灯合法亮度的个数，\(g(x,l,r)\) 表示第 \(x\) 个灯不合法亮度的个数。

对于 \(j=0\) 即到我们这个灯合法，那么上一个的所有长度都可以转移过来：

\[f_{i,0}=h(i,l_i,r_i)\times \sum_{k=0}^{a-1} f_{i-1,k} \]

对于 \(j\neq 0\) 只能从上一个 \(j-1\) 转移过来：

\[f_{i,j}=g(i,l_i,r_i)\times f_{i-1,j-1} \]

这样时间复杂度是 \(O(n^2)\)。

可以发现我们有一个状态方案数的区间和，同时我们发现的状态是会继承的，对于 \(f_{i-1}\) 我们乘了一个数然后转移到 \(f_{i}\)，同时 \(f_{i}\) 乘一个数转移到 \(f_{i+1}\)，这是一个区间乘和整体平移的过程，每次相当于前面加一个数后面删一个数，这样的话其实就能在线段树上滚动。

于是我们要用线段树实现：

• 区间求和。

• 区间乘。

• 单点修改。

• 区间平移。

其中区间平移可以不断平移固定的线段树的区间即可实现，程序时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。