【算法学习】矩阵乘法

前言

特点：\(n\) 非常大 \(m\) 却非常小，求方案数，强制走 \(k\) 步的路径数。

当遇到数据范围极端地大时就可以考虑构造矩阵进行矩阵快速幂。

介绍

首先我们要知道矩阵的计算规则，两个矩阵 \(A\) 和 \(B\) 相乘，要求 \(A\) 的列数等于 \(B\) 的行数，\(A\) 的尺寸为 \(m\times n\)，\(B\) 的尺寸为 \(n\times u\)，那么乘积 \(C=m\times u\)。矩阵乘法C=AB的计算公式为 \(C[i,j]=\sum_{k=1}^{n} A[i][k]\times B[k][j]\)。代码为i,j,k三重循环。

for(int i=1;i<=m;i++){
	for(int j=1;j<=u;j++){
		for(int k=1;k<=n;k++){
			c[i][j]=a[i][k]*b[k][j];
		}
	}
}

P5789 [TJOI2017] 可乐

这题是路径快速幂的模板题，问题有三种操作不动、动、自爆，我们用邻接矩阵存边，不动就是自己向自己存边，自爆就是每个点向 \(0\) 点连一条单向边，\(k\) 秒钟我们就对矩阵进行 \(k\) 次方即可。

快速幂你应该会写吧，开始要初始化为 \(1\)，而矩阵相应的要初始化为单位矩阵（斜对角都是 \(1\) 的矩阵），最后统计答案 \(1\) 到所以点的方案数。

P1962 斐波那契数列

好了你已经学会了路径问题，那么接下来看看矩阵加速递推式，一看这题这不是斐波那契数列吗，直接写完一交发现TLE！！！一看数据范围(○´･д･)ﾉ，这时我们就要建模了！！！

https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P1962

最后我们得到一个简单的矩阵就可以快速幂了后就可以得到答案了！！！

但其实矩阵的构造可以通过观察法观察出来，这个靠直觉吧。

P2886 [USACO07NOV] Cow Relays G

因为必须要经过n条边，大部分的最短路算法都没有用，所以考虑矩阵快速幂。

P5004 专心OI - 跳房子

矩阵快速幂的好题，发现数据非常大且为 dp 递推则考虑矩阵快速幂，先从部分分入手找规律。

\(m=1\)

N	ans
1	2
2	3
3	5
4	8

发现这不就是斐波那契数列吗，很好继续向下考虑。

\(m=2\)

N	ans
1	2
2	3
3	4
4	6
5	9

仔细一看递推式为 \(f_n=f_{n-1}+f_{n-3}\)，感觉有点规律了，继续找。

\(m=3\)

N	ans
1	2
2	3
3	4
4	5
5	7

行了明白了，这个一看就是 \(f_n=f_{n-1}+f_{n-4}\)，发现这递推式都大差不差的，那构造成矩阵是不是也差不多。

\(m=1 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)

\(m=2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)

\(m=3 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)

发现左上和右上角总有 \(1\) 以及固定在左下的一条斜率为 \(-1\) 的全是 \(1\) 的长条，我们构造出来然后跑快速幂即可。

P5059 中国象棋

他说的是格点放置所以要聪明变通。

还是得建模，不过先要找到规律性质，但是正常不好找还是先 dp 找，设 \(f_{n,0/1}\) 为这个位置放/不放棋子的方案数，于是我们有

\[f_{i,0}=f_{i-1,0}+f_{i-1,1} \]

\[f_{i,1}=f_{i-1,0} \]

我们先不管一定要放 \(2\) 个的限制，我们最终的答案就是 \(sum=f_{n,0}+f_{n,1}\)，但是这个式子好像可以拆啊，上面的式子代过来。

\[sum=2f_{n-1,0}+f_{n-1,1} \]

\[sum=(f_{n-1,0}+f_{n-1,1})+(f_{n-2,0}+f_{n-2,1}) \]

\[sum=ans_{n-1}+ans_{n-2} \]

哎！这不是斐波那契数列吗，我们通过口算得到 \(ans_1=2,ans_2=3\)，整体偏移了，答案就是 \(sum=fib_{n+2}\)。

那放两个就是要去除放一个的方案和不放的方案，因为这是直接加的递推所以直接减掉 \(n+1\) 即可。

那一共 \(n+1\) 行乘法原理直接快速幂即可，数据太大要么龟速乘要么高精度。