【算法学习】树链部分

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收起

说句闲话

这个东西已经20多天没写了，感觉已经忘没了，非常糟糕，只好赶快补一补，确实还是得多打代码，不然都忘光就丸辣。

前言

树链问题通常是关于树上路径的操作，将路径拆分成一条条链，然后用线段树维护链的权值。

注：本题解并不适用于毫无基础的oier，只是做简单讲解，想了解具体定义请自行查阅。

树链模板题

我们一下都围绕这道题讲述操作，我们需要实现：

• 两点路径权值加；

• 两点路径权值和；

• 节点子树权值加；

• 节点子树权值和；

2次dfs成链

第一次

我们先用第一次 dfs 找到每个节点的以下东西（不懂先放着，继续向下看）：

• 节点深度：为了查路径时确定哪个作为起点终点及先动深度更深的点。

• 节点大小：一个子树是一个连续的dfs序，为了操作整颗子树。

• 父节点：当达到链顶时为了转移到另一个链上。

• 重儿子：为了形成重链。

void dfs1(int x,int f,int d){//当前节点，父节点，深度
	deep[x]=d;//深度 
	siz[x]=1;//大小 
	fa[x]=f;//父节点 
	int mxson=-1;//重儿子大小 
	for(int y:v[x]){
		if(y==f)
			continue;
		dfs1(y,x,d+1);
		siz[x]+=siz[y];
		if(siz[y]>mxson){//比当前已有重儿子更大，更新 
			son[x]=y;
			mxson=siz[y]; 
		} 
	}
}

第二次

这一次我们要形成树链，优先遍历重链，记录每个点以下内容：

• dfs序赋新节点编号：为了线段树的节点标号。

• 新节点编号的权值储存：初始值转移过来。

• 记录链顶：为了求路径和，你先别急了解他。

void dfs2(int x,int topf){//当前节点，链顶节点 
	id[x]=++cnt;//dfs序 
	w[cnt]=aa[x];//初始化的值转移过来 
	top[x]=topf;//更新链顶 
	if(!son[x]){//叶子节点滚！ 
		return;
	} 
	dfs2(son[x],topf);//有点遍历重儿子形成重链 
	for(int y:v[x]){
		if(y!=fa[x]&&y!=son[x]){
			dfs2(y,y);//轻儿子链顶是自己 
		}
	}
}

处理链

大佬的图

子树处理

因为优先遍历重儿子，所有重儿子上 dfs 序是连续，仔细想一下遍历过程就可以发现同一子树上的编号也是连续的，所以子树操作就变成了线段树区间加区间和。

具体如下：（省略了线段树操作）

change(1,1,n,id[x],id[x]+siz[id[x]]-1,k); 
query(1,1,n,id[x],id[x]+siz[id[x]]-1);

路径处理

这个可以模拟一下，假设我们求 \(4,7\) 的路径上和，他们不在同一条链上，我们找到链顶深度更深的节点操作（7所在的链），那 \(7->6\) 这条路径上的权值直接加和，因为重链 dfs 序连续，所以还是线段树区间加和，此时我们节点要到** \(6\) 的父节点 \(1\) 上**，此时发现 \(1,4\) 在同一条重链上，那 \(1,4\) 的权值直接加和即可，还是线段树区间操作，此时路径操作就呼之欲出了！！！

int sumpath(int x,int y){
	int ans=0;
	while(top[x]!=top[y]){//不在同一条链上 
		if(deep[top[x]]<deep[top[y]]){//链顶更深！！！ 
			swap(x,y);//交换 
		}
		ans+=query(1,1,n,id[top[x]],id[y]);//链顶到当前节点 
		x=fa[top[x]];//到链顶的父节点上 
	}
	if(deep[x]>deep[y]){//深度小到大的取值加和 
		swap(x,y);
	}
	ans+=query(1,1,n,id[x],id[y]);
	return ans;
}

树链部分lca

可以发现我们不断地在链上向上跳，这于lca的操作非常相似，所以他是可以求 lca 的，我们不断向上跳到同一条链上，深度更浅的那个点就是两个节点的 lca。

int sumpath(int x,int y){
	int ans=0;
	while(top[x]!=top[y]){
		if(deep[top[x]]<deep[top[y]]){
			swap(x,y);
		}
		x=fa[top[x]]; 
	}
	if(deep[x]>deep[y]){
		return y;
	}
	return x;
}

边权如何

P4315 月下“毛景树”

如果树的权值到边上成为边权呢，其实还是要转成点权，我们一个点对应一条边，那从根节点出发的边的边权就可以给他的儿子，这样就转成点权了。

当然不可避免的有很多问题，如最后在同一条链上时，要用changesum(1,1,n,id[x]+1,id[y],k);因为根节点的权值是不算在内的。

单边修改时也要查找边对应的点x=id[e[x*2-1].to]<id[e[x<<1].to]?e[x<<1].to:e[x*2-1].to;

例题

P4427 [BJOI2018] 求和

树上差分的思想，预处理前缀和，从根到该节点k次方的总和，答案需要减去 lca 的路径