【算法学习】逆元与求解
逆元
当 \(ax\equiv1\ (mod \ b)\) 称 \(x\) 为 \(a \mod b\) 的逆元，记作 \(a^{-1}\)。
求逆元
以下都是求逆元的方法，为了不那么无聊 给个例题做。
拓展欧几里得法
虽然 exgcd 是为了求 \(ax+by=gcd(a,b)\)，但是 \(ax\equiv1\ (mod \ b)\) 这个式子代表着 \(a\) 和 \(b\) 互质，即 \(gcd(a,b)=1\)，所以他们是可以相互转化的，\(y\) 也通常是非正数。
然后直接 exgcd 即可。
时间复杂度 \(O(\log \min(a,b))\)
链接里面有啊
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==0){
x=1,y=0;
return;
}
exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
ll a,b;
cin>>a>>b;
for(ll i=1;i<=a;i++){
ll d=__gcd(i,b);
ll x,y;
exgcd(i,b,x,y);
x=(x%b+b)%b;
cout<<x<<"\n";
}
return 0;
}
快速幂法
\(\because ax \equiv1\ (mod\ b)\)
\(\therefore ax \equiv a^{b-1}\ (mod\ b)\) （费马小定理）
\(\therefore x \equiv a^{b-2}\ (mod\ b)\)
此时直接快速幂模 \(b\) 即可。
时间复杂度 \(O(\log b)\)
非常简单还要看吗？
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=10005;
ll a,b;
ll quickpow(ll x,ll k,ll mod){
ll sum=1;
while(k){
if(k&1){
sum*=x;
sum=(sum+mod)%mod;
}
x*=x;
x=(x+mod)%mod;
k>>=1;
}
return sum;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
int t;
cin>>t;
while(t--){
cin>>a>>b;
if(a%b==0){//并不互质，不合法
cout<<"impossible\n";
}
else{
cout<<quickpow(a,b-2,b)<<"\n";
}
}
return 0;
}
线性求逆元
这个方法只适用于这道例题要求出 \(1-a\) 全部数的逆元。
初始化有 \(1^{-1} \equiv1 (\mod b)\)
设 \(b=k\times i+r,(1<r<i<b)\)，\(k\) 为 \(p/i\) 的商，\(r\) 是余数。
把这个式子在 \((mod\ b)\) 的意义下得到：
\[k\times i+r \equiv 0 (mod\ b)
\]
都乘上 \(i^{-1},r^{-1}\) 可以得到：
\[k\times r^{-1}+i^{-1} \equiv 0 (\mod b)
\]
\[i^{-1}\equiv -k\times r^{-1} (mod\ b)
\]
\[i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{b}{i} \rfloor \times (b\ mod\ i)^{-1} (mod\ b)
\]
于是，我们就可以递推得到当前的逆元了。
RT
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll a,b;
ll inv[3000006];
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>a>>b;
inv[1]=1;
cout<<"1\n";
for(int i=2;i<=a;i++){
inv[i]=((0-(b/i)*inv[b%i])%b+b)%b;
cout<<inv[i]<<"\n";
}
return 0;
}
