【算法学习】逆元与求解

合集 - 【算法学习】(35)

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学习笔记

学习笔记

逆元

当 \(ax\equiv1\ (mod \ b)\) 称 \(x\) 为 \(a \mod b\) 的逆元，记作 \(a^{-1}\)。

求逆元

以下都是求逆元的方法，为了不那么无聊 给个例题做。

拓展欧几里得法

exgcd链接

虽然 exgcd 是为了求 \(ax+by=gcd(a,b)\)，但是 \(ax\equiv1\ (mod \ b)\) 这个式子代表着 \(a\) 和 \(b\) 互质，即 \(gcd(a,b)=1\)，所以他们是可以相互转化的，\(y\) 也通常是非正数。

然后直接 exgcd 即可。

时间复杂度 \(O(\log \min(a,b))\)

链接里面有啊

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	ll a,b;
	cin>>a>>b;
	for(ll i=1;i<=a;i++){
		ll d=__gcd(i,b);
		ll x,y;
		exgcd(i,b,x,y);
		x=(x%b+b)%b;
		cout<<x<<"\n";
	}
    return 0;
}

快速幂法

\(\because ax \equiv1\ (mod\ b)\)

\(\therefore ax \equiv a^{b-1}\ (mod\ b)\) （费马小定理）

\(\therefore x \equiv a^{b-2}\ (mod\ b)\)

此时直接快速幂模 \(b\) 即可。

时间复杂度 \(O(\log b)\)

非常简单还要看吗？

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=10005;
ll a,b;
ll quickpow(ll x,ll k,ll mod){
	ll sum=1;
	while(k){
		if(k&1){
			sum*=x;
			sum=(sum+mod)%mod; 
		}
		x*=x;
		x=(x+mod)%mod;
		k>>=1;
	}
	return sum;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
    	cin>>a>>b;
	    if(a%b==0){//并不互质，不合法 
	    	cout<<"impossible\n";
		}
		else{
			cout<<quickpow(a,b-2,b)<<"\n";
		}
	}
    return 0;
}

线性求逆元

这个方法只适用于这道例题要求出 \(1-a\) 全部数的逆元。

初始化有 \(1^{-1} \equiv1 (\mod b)\)

设 \(b=k\times i+r,(1<r<i<b)\)，\(k\) 为 \(p/i\) 的商，\(r\) 是余数。

把这个式子在 \((mod\ b)\) 的意义下得到：

\[k\times i+r \equiv 0 (mod\ b) \]

都乘上 \(i^{-1},r^{-1}\) 可以得到：

\[k\times r^{-1}+i^{-1} \equiv 0 (\mod b) \]

\[i^{-1}\equiv -k\times r^{-1} (mod\ b) \]

\[i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{b}{i} \rfloor \times (b\ mod\ i)^{-1} (mod\ b) \]

于是，我们就可以递推得到当前的逆元了。

RT

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll a,b;
ll inv[3000006];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>a>>b;
	inv[1]=1;
	cout<<"1\n";
	for(int i=2;i<=a;i++){
		inv[i]=((0-(b/i)*inv[b%i])%b+b)%b;
		cout<<inv[i]<<"\n"; 
	}
    return 0;
}