裴蜀定理

合集 - 【算法学习】(35)

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裴蜀定理

\(i|j\) 表示 \(i\) 是 \(j\) 的约数。

\(ax+by=c\)，\(x,y\in \mathbb{Z}\)，该等式成立的条件为 \(gcd(a,b)|c\)。

省流：

\[ax+by=gcd(a,b) \]

接下来证明一下：

设 \(s\) 为 \(gcd(a,b)\)，显然 \(s|a\)，\(s|b\)。

因为 \(x,y\in \mathbb{Z}\)，所以得到 \(s|ax\)，\(s|by\)。

原等式可知 \(c\) 一定为 \(a\) 和 \(b\) 的公约数的倍数，

所以等式成立，\(c\) 取 \(s\) 时最小。

原题链接 P4549

这还需要代码？

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int n,x,ans;
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	cin>>x;
    	ans=__gcd(ans,abs(x)); 
	}
    cout<<ans;
    return 0;
}