贝叶斯公式

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博客学习

\(P(A∩B)\) 表示事件 \(𝐴\) 和事件 \(𝐵\) 同时发生的概率

条件概率：

条件概率是指事件 \(A\) 在另外一个事件 \(B\) 已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：\(P(A|B)\)，读作“在B的条件下A的概率”。——《百度百科》

条件概率：

\[P(A|B) = \frac{P(A∩B)}{P(B)}) \]

特别的，如果\(A\) 和 \(B\) 相互独立，\(P(A|B)=P(A)\)

贝叶斯公式

对条件概率公式移项可以得到式子：

\[P(A∩B)=P(A|B)\times P(B) \]

\[P(A∩B)=P(B|A)\times P(A) \]

因为上面两个式子都包含 \(P(A∩B)\)，所以进行联立起来。

\[P(A|B)\times P(B) = P(B|A)\times P(A) \]

\[P(A|B)=\frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B)} \]

然后上面这个这就是贝叶斯公式，这公式就是用来描述两个条件概率之间的关系。

注：\(P(A)>0,P(B)>0)\)，\(P(B)\) 的决定因素可能不止与一个事件有关。

全概率公式

如果样本空间分为了两两互斥（互不相同）的 $A_1 …… A_k $，那么此时：

\[P(B)=\sum_{i=1}^{k} P(B|A_i)\times P(A_{i}) \]

例如样本空间划分为了两个 \(A,A^{'}\)，用全概率公式求出 \(P(B)\)。

\[P(B)=P(B|A)\times P(A)+P(B|A^{'})\times P(A^{'}) \]

这个公式可以用来处理 \(P(B)\) 不好直接计算的情况.

然后将全概率公式代入贝叶斯公式可以得到：

\[P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)\times P(A_i)}{\sum_{j} P(B|A_j)\times P(A_{j}} (1\le i\le k) \]

例题

有两种邮件：\(A_1\) 代表垃圾邮件，\(A_2\) 代表用户邮件。

根据经验，\(P(A_1)=0.7,P(A_2)=0.3\)。

令 \(B\) 表示该邮件包含免费这一关键词，由历史邮件得知，\(P(B|A_1)=0.9,P(B|A_2)=0.01\)（概率之和不一定为1）。

问若收到一封新邮件，包含了“免费”这一关键字，那么它是垃圾邮件的概率是多少。

解析：

题目要求的是 \(P(A_1|b)\)

根据条件概率公式：

\[P(A_1|b)=\frac{P(A_1∩B)}{P(B)} \]

根据贝叶斯公式：

\[P(A_1|b)=\frac{P(B|A_1) P(A_1)}{P(B)} \]

带入全概率公式：

\[P(A_1|b)=\frac{P(B|A_1) P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)} \]

然后带入已知条件：

\[P(A_1|b)=\frac{0.9\times 0.7}{0.9\times 0.7+0.01\times 0.3} \]

\[\approx 0.995260663507109004739336492891\% \]