高等数学1

前言

今天学习的高等数学的部分，即使是在whk也能有很大的运用空间，需要好好掌握，尤其是这次讲课内容较为基础，必要时可反复复习！

从极限开始

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 表示当x趋近于$x_0$时$f(x)$对应的取值

$\frac{1}{\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{大}}=\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$（无穷大不等同于正无穷）

$e\mathrm{的}\mathrm{定}\mathrm{义}：e=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x$

等价无穷小:若 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=1$ ,则可以用表示$f(x)\sim g(x)$表示它们是等价的无穷小，这样就可以在运算极限值时将二者直接互相代换

常见：

$$\sin (x)\sim x$$

$$\cos (x)\sim 1-\frac{x^2}{2}$$

$$\ln (1+x)\sim x$$

$$e^x-1\sim x$$

$$(1+x{)}^a\sim ax$$

$$a^x-1\sim ln(a)x$$

$$lo{g}_{a}x+1\sim \frac{x}{lna}$$

导数初步

导数可以把它简单地理解为函数的变化率，或者是函数图像上过某一点图像切线的斜率。其用途非常广泛，需重点关注。
对函数$f(x)$求导可记作$f^{\prime }(x)$

导数表

$$(C{)}^{\prime }=0$$

$$(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$$

$$(\sin (x){)}^{\prime }=\cos (x)$$

$$(\cos (x){)}^{\prime }=-sin(x)$$

$$(a^x{)}^{\prime }=l{n}_a\cdot a^x，\mathrm{特}\mathrm{殊}\mathrm{地}，(e^x{)}^{\prime }=e^x$$

$$(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{xl{n}_a}，\mathrm{特}\mathrm{殊}\mathrm{地}，(l{n}_x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

导数运算

$$[u(x)\pm v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x)$$

$$[u(x)\ast v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$$

$$[\frac{u(x)}{v(x)}{]}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}$$

$$[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

总之熟能生巧，勤加练习后不需死记硬背即可牢固掌握。

洛必达法则

神！洛必达法则天下第一！看到lim就是一个洛！(逃
洛必达法则:$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$
当然洛必达法则在使用时是有前提的，当x趋近于$x_0$时$f(x)\mathrm{与}g(x)$必须同时趋近于0（注意只能是0，不能是其它常数，小心洛着洛着极限值变为1还在洛就出事了），或者是同时趋近于无限，即必须是$\frac{0}{0}\mathrm{或}\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$型。特殊地，$0\cdot \mathrm{\infty }$型也可以洛，在这种情况下可以将$\mathrm{\infty }$型转化为$\frac{1}{0}$型，或将0型转化为$\frac{1}{\mathrm{\infty }}$型思考

泰勒展开

直接上公式:若$f(x)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{处}\mathrm{有}n\mathrm{阶}\mathrm{导}\mathrm{数}，\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{对}\mathrm{于}{x}_0\mathrm{邻}\mathrm{域}\mathrm{中}\mathrm{的}x\mathrm{有}$ $$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)(x-x_0)}{1!}+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2}{2!}+......+\frac{f^{(n)}(x-x_0{)}^n}{n!}+o((x-x_0{)}^n)$$
其中$o((x-x_0{)}^n)$表示高阶无穷小，即该数列第n项之后所有项的和，虽然值已经小到趋近0，但是依然需要加上这一部分，否则这个数列只能无限逼近$f(x)$而不能等于$f(x)$

此时如果将$x_0=0$代入则可以得到函数在0处展开的样子，即泰勒展开的特殊情况——麦克劳林公式：$$f(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)x}{1!}+\frac{f^{\prime \prime }(0)x^2}{2!}+......+\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}+o(x^n)$$
不过只需记住泰勒展开就可以了，个人感觉没有必要两个都记下来

运用

在我们熟练掌握了泰勒展开及其衍生变形后，我们就可以轻松做到一些平常想都不敢想的事了，手撕根号，三角函数，ln,e的幂次都不在话下，只需将上式的$f(x)$换为我们想要的函数，公式：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$

$$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...+\frac{x^n}{n}\cdot (-1{)}^{n+1}+o(x^n)$$

$$(1+x{)}^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3-...+\frac{1}{2^{n+1}}{x}^n+o(x^n)$$

$$sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$$

$$cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$