SG函数

 入门一：

首先来玩个游戏，引用杭电课件上的：

(1) 玩家：2人；
(2) 道具：23张扑克牌；
(3) 规则：
游戏双方轮流取牌；
每人每次仅限于取1张、2张或3张牌；
扑克牌取光，则游戏结束；
最后取牌的一方为胜者。

      想一下。。

      首先申明一点，博弈的讨论是在大家都玩的最好的情况下讨论的。（如果2个玩家智商有差别，那就没法讨论了～～～～开个玩笑哈。）

      介绍概念：P点 即必败点，某玩家位于此点，只要对方无失误，则必败；

                        N点 即必胜点，某玩家位于此点，只要自己无失误，则必胜。

定理：

     一、 所有终结点都是必败点P（上游戏中，轮到谁拿牌，还剩0张牌的时候，此人就输了，因为无牌可取）；

    二、所有一步能走到必败点P的就是N点；

    三、通过一步操作只能到N点的就是P点；

    自己画下图看看。

    x ：0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10。。。

pos：P   N N  N  P N  N  N  P N   N 。。。

    所以若玩家甲位于N点。只要每次把P点让给对方，则甲必胜；

   反之，若玩家甲位于P点，他每次只能走到N点，而只要乙每次把P点让给甲，甲必败；

    这里好好理解下；

   如果上面的理解的。请解决下面的题目：HDU 1846   2147（注意题目限制内存）（先2道练练手，做不出的话提示：找规律）

    接下来介绍Nim游戏（同样引用杭电上的，懒的打字）

   1.有两个玩家；
   2.  有三堆扑克牌（比如：可以分别是    5，7，9张）；
  3. 游戏双方轮流操作；
  4. 玩家的每次操作是选择其中某一堆牌，然后从中取走任意张；
   5.最后一次取牌的一方为获胜方；

   想一会：

   还记得刚才说的P点和N点吗？P：必败点，N：必胜点

   先给出结论，这里要用到位运算，异或:^

    游戏的某个位置（x1,x2,x3) x1,x2,x3表示3堆的个数。当且仅当 x1^x2^x3=0时，此点才是必败点P；

    结论可以推广到一般情况，即有n堆，(x1,x2,x3,...xn) 当且仅当x1^x2^x3...^xn=0时，此点才是必败点P；

    如要看证明过程，链接在此    http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?fid=9&tid=10617，看不懂的可以问 我（汗。。）

 练习：HDU 2188  2149   （做不出的话先看下面的，然后多思考）

   下面介绍sg函数（解决博弈问题的王道）

   sg 即Graph Game，把博弈游戏抽象成有向无环图

(1) 有向无环图
(2) 玩家1先移动，起点是x0
(3) 两个玩家轮流移动
(4) 对于顶点x, 玩家能够移动到的顶点集记为F(x).
(5) 不能移动的玩家会输掉游戏

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、 mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

定义: 一个图的Sprague-Grundy函数(X,F)是定义在X上的非负函数g(x)，并且满足：
       g(x) = mex{g(y) : y∈F(x)}

看到这里先好好理解一下sg值是怎么求的；

如果在取子游戏中每次只能取{1,2,3}，那么各个数的SG值是多少？

x      0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14. . .
g(x) 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1  2   3   0   1   2. . .
看看这个和上面那个图的规律：

  P-点: 即令 g(x) = 0 的 x 点！
 N-点: 即令 g(x) > 0 的 x 点！

练习 HDU 1847  1849  1850 （做不出的话先看下面的，然后多思考）

最后看下组合博弈，就是把简单的游戏组合起来，比如3堆的可以看成3个一堆的游戏。

 定理：

假设游戏 Gi的SG函数是gi, i=1,…,n, 则
G = G1 + … + Gn 的 SG函数是
g(x1,…,xn) = g1(x1)⊕…⊕gn(xn).

其中那个符合就是异或^

看看是不是和Nim游戏的结论差不多？

如果想理解原理链接在此：http://www.cnitblog.com/weiweibbs/articles/42735.html

看完以上的，做完以下的练习。能理解完基本差不多可以算入门了：

HDU 1848 1517 1536（做不出就思考，思考，多看几遍）

 

上一期的文章里我们仔细研究了Nim游戏，并且了解了找出必胜策略的方法。但如果把Nim的规则略加改变，你还能很快找出必胜策略吗？比如说：有n堆石子，每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗，可以从第2堆石子里取奇数颗，可以从第3堆及以后石子里取任意颗……这时看上去问题复杂了很多，但相信你如果掌握了本节的内容，类似的千变万化的问题都是不成问题的。

现在我们来研究一个看上去似乎更为一般的游戏：给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。事实上，这个游戏可以认为是所有Impartial Combinatorial Games的抽象模型。也就是说，任何一个ICG都可以通过把每个局面看成一个顶点，对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。下面我们就在有向无环图的顶点上定义Sprague-Garundy函数。

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继}。

来看一下SG函数的性质。首先，所有的terminal position所对应的顶点，也就是没有出边的顶点，其SG值为0，因为它的后继集合是空集。然后对于一个g(x)=0的顶点x，它的所有后继y都满足g(y)!=0。对于一个g(x)!=0的顶点，必定存在一个后继y满足g(y)=0。

以上这三句话表明，顶点x所代表的postion是P-position当且仅当g(x)=0（跟P-positioin/N-position的定义的那三句话是完全对应的）。我们通过计算有向无环图的每个顶点的SG值，就可以对每种局面找到必胜策略了。但SG函数的用途远没有这样简单。如果将有向图游戏变复杂一点，比如说，有向图上并不是只有一枚棋子，而是有n枚棋子，每次可以任选一颗进行移动，这时，怎样找到必胜策略呢？

让我们再来考虑一下顶点的SG值的意义。当g(x)=k时，表明对于任意一个0<=i<k，都存在x的一个后继y满足g(y)=i。也就是说，当某枚棋子的SG值是k时，我们可以把它变成0、变成1、……、变成k-1，但绝对不能保持k不变。不知道你能不能根据这个联想到Nim游戏，Nim游戏的规则就是：每次选择一堆数量为k的石子，可以把它变成0、变成1、……、变成k-1，但绝对不能保持k不变。这表明，如果将n枚棋子所在的顶点的SG值看作n堆相应数量的石子，那么这个Nim游戏的每个必胜策略都对应于原来这n枚棋子的必胜策略！

对于n个棋子，设它们对应的顶点的SG值分别为(a1,a2,...,an)，再设局面(a1,a2,...,an)时的Nim游戏的一种必胜策略是把ai变成k，那么原游戏的一种必胜策略就是把第i枚棋子移动到一个SG值为k的顶点。这听上去有点过于神奇——怎么绕了一圈又回到Nim游戏上了。

其实我们还是只要证明这种多棋子的有向图游戏的局面是P-position当且仅当所有棋子所在的位置的SG函数的异或为0。这个证明与上节的Bouton's Theorem几乎是完全相同的，只需要适当的改几个名词就行了。

刚才，我为了使问题看上去更容易一些，认为n枚棋子是在一个有向图上移动。但如果不是在一个有向图上，而是每个棋子在一个有向图上，每次可以任选一个棋子（也就是任选一个有向图）进行移动，这样也不会给结论带来任何变化。

所以我们可以定义有向图游戏的和(Sum of Graph Games)：设G1、G2、……、Gn是n个有向图游戏，定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和(Sum)，游戏G的移动规则是：任选一个子游戏Gi并移动上面的棋子。Sprague-Grundy Theorem就是：g(G)=g(G1)^g(G2)^...^g(Gn)。也就是说，游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。

再考虑在本文一开头的一句话：任何一个ICG都可以抽象成一个有向图游戏。所以“SG函数”和“游戏的和”的概念就不是局限于有向图游戏。我们给每个ICG的每个position定义SG值，也可以定义n个ICG的和。所以说当我们面对由n个游戏组合成的一个游戏时，只需对于每个游戏找出求它的每个局面的SG值的方法，就可以把这些SG值全部看成Nim的石子堆，然后依照找Nim的必胜策略的方法来找这个游戏的必胜策略了！

回到本文开头的问题。有n堆石子，每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗，可以从第2堆石子里取奇数颗，可以从第3堆及以后石子里取任意颗……我们可以把它看作3个子游戏，第1个子游戏只有一堆石子，每次可以取1、2、3颗，很容易看出x颗石子的局面的SG值是x%4。第2个子游戏也是只有一堆石子，每次可以取奇数颗，经过简单的画图可以知道这个游戏有x颗石子时的SG值是x%2。第3个游戏有n-2堆石子，就是一个Nim游戏。对于原游戏的每个局面，把三个子游戏的SG值异或一下就得到了整个游戏的SG值，然后就可以根据这个SG值判断是否有必胜策略以及做出决策了。其实看作3个子游戏还是保守了些，干脆看作n个子游戏，其中第1、2个子游戏如上所述，第3个及以后的子游戏都是“1堆石子，每次取几颗都可以”，称为“任取石子游戏”，这个超简单的游戏有x颗石子的SG值显然就是x。其实，n堆石子的Nim游戏本身不就是n个“任取石子游戏”的和吗？

所以，对于我们来说，SG函数与“游戏的和”的概念不是让我们去组合、制造稀奇古怪的游戏，而是把遇到的看上去有些复杂的游戏试图分成若干个子游戏，对于每个比原游戏简化很多的子游戏找出它的SG函数，然后全部异或起来就得到了原游戏的SG函数，就可以解决原游戏了。这种“分而治之”的思想在下一节介绍的“翻硬币游戏”中将被应用得淋漓尽致。还是敬请期待。