CF1349F 【Slime and Sequences】part1

由于本文过长，\(\LaTeX\) 炸了，分两篇，part2

题目描述

定义一个正整数序列为好序列，当且仅当如果某个数 \(k\) 出现过，那么一定有 \(k-1\) 在最后一个 \(k\) 的前面出现过。

对于所有 \(i\in[1,n]\)，求出 \(i\) 在所有好序列中出现次数的和

Easy Version:\(n\leq 5000\)

Hard Version:\(n\leq 10^5\)

题解

领略到了国际计数顶尖水平。。

问题转化

有重复元素的正整数序列不好统计，我们试图将它映射到排列上

我们构建一个排列 \(p\)，在相邻两个数字之间填入不等号，设 \(p_{1\dots i}\) 中共有 \(num_i\) 个小于号，我们将它映射到 \(a\) 序列：\(a_{p_i}=num_i+1\)，则 \(a\) 是一个好序列

证明如下：设 \(i\) 为一个小于号右边的位置，则 \(num_{i-1}+1=num_i\)，即 \(a_{p_{i-1}}+1=a_{p_i}\)，而由于是小于号，所以 \(p_{i-1}<p_i\)，容易发现这正是题目中要求的限制

而对于一个好序列，我们从小到大枚举数值，对于每一个数值，我们将它所在的所有下标从大到小放到数列的后面（初始数列为空），这样我们就完成了从好序列到排列的映射

则容易发现，这是一个双射关系

排列组合推导

这里引入欧拉数：\(\left<\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right>\) 表示长度为 \(n\) 的排列中，相邻数字之间的小于号数目为 \(k\) 的方案数

设 \(ans_k\) 为数字 \(k+1\) 的答案

则 \(ans_k=\sum\limits_{i=\max(k,1)}^n\left<\begin{matrix}i\\k\end{matrix}\right>\dbinom ni(n-i)!\)

什么意思呢？我们枚举产生好序列中 \(k+1\) 这个数字的位置，则前 \(i\) 个数中需要有 \(k\) 个小于号，我们再给前 \(i\) 个数分配标号，剩下的 \(n-i\) 个数随意排列

可是这个算的是排列方案数，而且还算重了

我们考虑证明算重的次数就等于该方案中 \(k+1\) 的出现次数：对于一个排列，它被计算当且仅当 \(i\) 在第 \(k\) 个小于号和第 \(k+1\) 个小于号之间，而这恰好就是 \(k+1\) 的出现次数

\(O(n^2)\) 递推欧拉数即可通过 Easy Version

补一个欧拉数的递推公式：

考虑在长度为 \(n-1\) 的排列中插入一个 \(n\) 得到长度为 \(n\) 的排列

• 在排列的左端插入一个 \(n\)，这样不会增加小于号的数量，所以这种情况从 \(\left<\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}\right>\) 转移来
• 在排列的右端插入一个 nn，这样会增加一个小于号，所以这种情况由 \(\left<\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}\right>\) 转移来
• 在某一个位置 \(i\) 和 \(i+1\) 中间插入 \(n\)，其中 \(P_i<P_{i+1}\)，这里会增加一个小于号，同时会破坏原来的一个小于号，所以总的小于号数量是不变的。所以它由 \(\left<\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}\right>\) 转移来，情况数即原排列中小于号的数量为 \(k\) 种
• 在某一个位置 \(i\) 和 \(i+1\) 中间插入 \(n\)，其中 \(P_i>P_{i+1}\)​，那么这里会增加一个小于号，从 \(\left<\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}\right>\)，情况数即大于号的数量即 \((n-2)-(k-1)\)，其中 \(n-2\) 表示长度为 \(n-1\) 的排列共有 \(n-2\) 个间隙

所以综上所述，\(\left<\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right>=(k+1)\left<\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}\right>+(n-k)\left<\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}\right>\)

下接 part2