PKUSC2021 口胡题解

\(\texttt{D1T1}\)

有一个 \(n \times n\) 的矩阵，重复 \(k\) 次，每次同时把 \(a_{i,j}\) 赋值为 赋值为 \(i\) 这⾏的和加上 \(j\) 这列的和，注意 到 \(a_{i,j}\) 自己的贡献是算两遍的。

求出 \(k\) 次变化后的矩阵对一个模数 \(p\) (不一定是质数)取模的结果.

\(1\leq n\leq 1000,0 \leq k \leq 10^9,2 \leq p \leq 10^9\)

\(\texttt{题解}\)

考虑一个 \(a_{x,y}\) 对 \(a_{i,j}\) 的贡献。

把平面上的点分为四类 : \((i,j)\) , \((i,x)(x\neq j)\) , \((x,j) (x\neq i)\) , \((x,y) (x \neq i,y \neq j)\) 然后随便讨论一下贡献就行。

复杂度 \(\Theta(n^2)\)

\(\texttt{D1T2}\)

初始有一个长度为 \(n\) 的序列 ，每次给定区间 \([l,r]\) 并执行以下两种操作之一：

\(1.\) 令 \(i\) 从 \(L\) 循环到 \(R-1\) ，将 \(a_i\) 赋值为 \(\max(a_i,a_{i+1})\)

\(2.\) 查询 \([l,r]\) 从左往右前缀 \(\max\) 单调栈元素之和

\(\texttt{题解}\)

考虑记 \(r_i\) 为一开始数列上的 \(a_i\) 往左延伸到的位置。

维护 \(r_i\) 不难，修改的时候区间 \(-1\) 即可，可以线段树维护。

考虑查询，先找到 \([l,r]\) 对应一开始数列上的区间，这个可以在线段树上二分实现; 接下来套用楼房重建的做法即可。

接下来考虑，有一些位置可能消失，消失的情况，一定是被一个比它大的数字覆盖了。

覆盖只可能在每次修改的 \(l\) 位置发生，因此直接 \(check\) 就行，然后就是支持删除的楼房重建了，复杂度 \(\Theta(n\log^2n)\)

\(\texttt{D1T3}\)

德州扑克

\(\texttt{题解}\)

这种题真的能做?

\(\texttt{D2T1}\)

给一颗树,记 \(x\) 到 \(y\) 的树上距离为 \(f(x,y)\)

现在删去 \(k\) 条边然后加上 \(k\) 条边，保证原图还是树，

求所有⽅案所得树权值之和对 \(998244353\) 取模的结果.

\(n\leq 10^5,k ∈ \{0,1\}\)

\(\texttt{题解}\)

\(k = 0\) 随便做。

\(k = 1\) 考虑每条边的贡献和贡献变化，子树和祖先链上分别递推一下就行

复杂度 \(\Theta(n)\)

\(\texttt{D2T2}\)

有 \(n\) 个物品，第 \(i\) 个价值为 \(a_i\) ，有一种代金券，如果花了 \(c\) 块钱就给你一张代金券 你可以用一张代金券来换一块钱，注意换出来的钱是不可以继续参与代金券的兑换的。

也就是你可以用掉 \(b\) 张代金券（前提是你有 \(b\) 张），再花 \(a_i-b\) 元，拿到 \(\lfloor \frac{a_i-b}{c} \rfloor\) 张代金券。 有 \(q\) 次单点修改，每次改完你都要求出，当前按顺序购买最少花的钱数。

\(1\leq n,q \leq 3\times 10^5,a_i,c \leq 10^{12}\)

\(\texttt{题解}\)

二分一个位置 \(i\) 使得后缀 \([i+1,n]\) 全用代金券解决，这个位置必然是唯一的。

接下来考虑前缀 \([1,i)\) 当中应该如何使用代金券。 \(i\) 这个位置需要一些分类讨论。

首先，如果我们破坏了 \([1,i)\) 中的获取代金券的机会，这是不赚的，肯定是拿到 \(i\) 这个位置破坏。

前缀 \([1,i)\) 中代金券的使用也很简单，当我们去掉后缀 \([i+1,n]\) 需求的代金券数目之后，我们只需要查询类似 \(\min(\sum d_i-\sum e_i)\) 的东西就行，其中 \(d_i= \lfloor \frac{a_i}{c} \rfloor,e_i=a_i-d_ic\)

复杂度 \(\Theta(q \log n)\)

\(\texttt{D2T3}\)

有 \(n\) 个 \([0,m]\) 的随机变量，求满足以下条件的概率 ： 任何⼀个长度为 \(k\) 的区间内包含的随机变量不超过 \(2\) 个.

\(1\leq k \leq m \leq 150, 1\leq n \leq 50\)

\(\texttt{题解}\)

首先将每个数字分为整数部分和小数部分，由于小数部分相等的概率 \(=0\) , 所以小数部分可以记成一个排列。

那么不难有这么一个 \(dp\) 状态 :

\(f[n][m1][n1][m2][n2]\) 表示前两个数字的整数部分分别为 \(m1,m2\) , 小数部分的排名为 \(n1,n2\) , 且已经放了 \(n\) 个数的方案数。

看起来状态是 \(\Theta(n^3m^2)\) 的，但实际上整数部分如果距离 \(>k\) 那么这个状态是没有意义的，所以状态总数是 \(\Theta(n^3mk)\) 的. 又因为 \(nk\) 是不超过 \(O(m)\) 的所以状态总数 \(\Theta(n^2m^2)\)

转移就直接枚举下一个是什么，需要特殊考虑整数部分相同时的贡献。

可以用前缀和优化， \(\Theta(n^2m^2)\)。经过卡常的暴力转移应该也能通过。