THUSC2021 Day1口胡题解
\(\texttt{T1}\)
\(\texttt{题意}\)
有 \(n\) 个有重量的物品和一个大小为 \(m\) 的背包，一轮一轮装物品，要求每轮装尽量多数目的物品，且最大化拿走的物品按编号排序后的编号字典序，如此模拟下去求轮数。
\(n \leq 5\times 10^4,m \leq 10^9\)
\(\texttt{题解}\)
首先我们可以用 \(\Theta(n\log n)\) 的复杂度求出每轮删的物品个数(不是一开始求出，而是每一轮同步进行)，可以用堆做，也可以排个序用指针扫。
考虑一个一轮 \(\Theta(n)\) 解决的做法：
我们事先给物品排好序，记当前这一轮需要拿走 \(k\) 个,
然后在剩下的物品数组中,维护一个链表的同时一边跳一边 \(check\) .
这样做复杂度是 \(\Theta(n^2),\) 但并不能通过全部数据。
考虑如果 \(k\) 比较小，可以在线段树上维护拿走的物品集合，可以用类似归并排序的方法实现，一次 \(update\) 复杂度 \(\Theta(k).\)
在维护好信息的情况下考虑每次找到下一个数字拿什么，在线段树上二分就行，虽然一次查询的复杂度是 $k\log n $ 但是总共不超过 \(n\) 次查询因此总复杂度是 \(\Theta (nk\log n)\)
设一个阈值 \(B\) , \(k \geq B\) 时用 \(\Theta(n)\) 的暴力，当 \(k\) 开始 \(\leq B-1\) 的时候建线段树维护即可。
复杂度 \(\Theta(\frac{n^2}{B}+n\log nB)\) , 取 \(B=\sqrt{\frac{n}{\log n}}\) 时时间复杂度为 \(\Theta(n\sqrt{n\log n})\) .
一个 \(\Theta(n\sqrt n)\) 的做法：
对于 \(k<B\) 的部分，分块做，设块长为 \(S\) ,每个块用链表存一下排序结果即可，单次复杂度\(\Theta(B^2+B(S+\frac{n}{S})).\)
总复杂度\(\Theta(nB+n(S+\frac{n}{S})+\frac{n^2}{B}),\)取 \(B=S=\sqrt n\) 总复杂度为 \(\Theta(n\sqrt n)\)
如果空间卡的很紧，可以适当将 \(B\) 缩小,由于 \(\Theta(n)\) 的暴力常数很小所以问题也不大。
哦还有另一个 \(\texttt{polylog}\) 做法，大概是二分套树套树上二分，还要开俩线段树，所以还是分块吧
大概是，每一轮求出个数仍然是随便求，然后二分 \(k\) 次下一个拿的数字的位置，二分里面要写一个，支持 \(n\) 次删除 的 查询后缀 \(k\) 大值的数据结构，这个可以开两个树套树来实现。这东西场上真的有人写？ 哦好像有很多，那没事了
\(\texttt{T2}\)
\(\texttt{题意}\)
给你一颗带点权树,要选一个点集使得它是一条链，并且按照链的顺序 , 点权序列是最长上升子序列，最大化最长上升子序列长度。
\(n\leq 10^5\)
\(\texttt{题解}\)
本来看到同学给我发这个题我觉得是个点分治，结果我 naive 了，原来可以直接线段树合并，哈哈
直接线段树合并，记值域上升/下降到当前值时候的 \(LIS\) 长度即可，每个点在树上查询并扔进线段树即可。
答案在线段树合并的同时不难维护。
\(\Theta(n\log n)\) , 当然也可以点分治/dsu on tree/启发式合并,由于没卡 \(2\log\) 甚至没卡3log所以上述做法都能过。
\(\texttt{T3}\)
\(\texttt{题意}\)
有 \(n\) 个人和 \(m\) 种菜 , 第 \(i\) 个人对第 \(j\) 道菜的喜爱程度为 \(a_{i,j}\) , 如果 \(a_{i,j} = -1\) 则表示不喜欢 .
现在你要选择一个菜的集合，你会获得喜欢集合中所有菜的人对这些菜的喜爱程度之和的权值，最大化这个权值.
\(n\leq 20,m \leq 10^6\)
\(\texttt{题解}\)
知道题意的时候降智了，只会一个2nn2的做法，我好菜啊
显然是个 \(fwt\) 题。
考虑求所有的人集合的答案。
对于一道菜 \(x\) ，记它对应的人的集合为 \(S\)
\(A[S] += \sum\limits_{i} a_{i,x}\) , \(A[S-(1<<i)] -= a_{i,x}\)
然后对 \(A\) 做 \(fwt\) 就行了。
\(\Theta(mn+n2^n)\)
\(\texttt{T4}\)
\(\texttt{题意}\)
\(m\) 测，要求实现对一棵有 \(n\) 个节点，儿子有顺序的无标号树的编码和解码，只能用一个 __int128 .
\(n \leq 70,m \leq 10^5\)
\(\texttt{题解}\)
吐槽一下，学弟告诉我题意的时候我以为有标号，结果觉得完全不能做(信息量不够)，哈哈
儿子有顺序的话，一棵树对应唯一一个括号序列，且这个括号序列的开头结尾必然是一对匹配的括号，因此将它们去掉，剩下一个长度为 \(2(n-1)\) 的括号序列，由于 \(Cat_{69} < 2^{128},\) 所以对括号序列编码即可。
编码可以用字典序来编码，转移的过程可以事先 \(dp\) 好，存在 static 里.
