AtCoder Regular Contest 104 题解

A

由二元一次方程组的知识可知 \(X = \frac{A+B}{2}\) \(Y = \frac{A-B}{2}\) , 直接输出即可.

\(\Theta(1)\)

B

对 \(A,T\) 做一个前缀和 \(cnt1[i]\) 表示前 \(i\) 个数当中 \(A\) 的个数减去 \(T\) 的个数

对 \(C,G\) 做一个前缀和 \(cnt2[i]\) 表示前 \(i\) 个数当中 \(C\) 的个数减去 \(G\) 的个数

枚举区间，可以 \(\Theta(1)\) 判断区间内 \(A\) 的个数减去 \(T\) 的个数 以及 \(C\) 的个数减去 \(G\) 的个数 是否等于 \(0\) .

实际上这个题可以用 \(map\) 做到 \(\Theta(n\log n)\) .

C

首先判掉读入的数里面就有相等的非 -1 的数的情况。

考虑一个区间是否合法，即区间 \([L,R]\) 内部是否能成为一段相交的合法解。

首先必然有 \((R-L+1)\) 是偶数，否则不合法

令 \(t = \frac{R-L+1}{2}\) , 有 \(t\) 个 pair 并且它们互相相交，不难发现这 \(t\) 个 pair 必然是长度为 \(t+1\) 的，形如 \([L,L+t]\) , \([L+1,L+1+t]\) \(\cdots\) \([R-t,R]\) 的。

然后判断是否可能存在这 \(t\) 个 pair 即可。

判断好之后考虑记 \(dp_i\) 表示区间 \([1...i]\) 能否形成一组合法解即可，不需要记录使用的 -1 -1 的次数，因为我们在 check 的过程中保证了端点互不相等。

判断区间合法的复杂度为 \(\Theta(n)\) , 最多需要判断 \(\Theta(n^2)\) 次，所以复杂度为 \(\Theta(n^3)\) .

D

对于每个询问的 \(x\) , 我们相当于是 \(x\) 可以看成 \(0\) ,

\(x-1,x-2 \cdots 1\) 看成 \(-1,-2 \cdots -(x-1)\)

\(x+1,x+2 \cdots n\) 看成 \(1,2 \cdots (n-x)\) , 然后保证选取出来的数和为 \(0\) 即可。

记 \(f_{i,j}\) 为值域为 \([1,i]\) 的可重集(每个数字出现次数不超过 \(K\) 次) , 总和为 j 的方案数。

由于 \(j\) 的范围是 \(\Theta(KN^2)\) , 所以状态总数是 \(\Theta(KN^3)\) , 可以每次转移的时候通过前缀和实现 \(\Theta(1)\) 转移，就可以在 \(\Theta(KN^3)\) 的时间内求出所有的 \(f_{i,j}\) .

最后对于每个询问的\(x\) 答案为 \(((K+1)\sum\limits_{i=0}^{\infty} f_{x-1,i} f_{n-x-1,i}) - 1\)

E

枚举大小顺序之后直接按照值域 DP 即可。

\(\Theta(N^3 N!)\)

F

记 \(f_{v,l,r}\) 表示区间 \([l,r]\) 左边有一个比区间 \([l,r]\) 都大的数 , 区间内所有数都小于等于 \(v\) 的方案数。

转移的时候直接枚举区间最大值的位置即可。

由于 \(X_i\) 可以对 \(n\) 取 \(\min\) , 所以复杂度为 \(\Theta(N^4)\) .