n^2 ln exp

有一些题目模数不是 NTT 模数或者多项式的长度比较短，利用 NTT 的多项式板子反而会很慢，这时候就需要使用 \(\Theta(n^2)\) 的多项式 ln 和 Exp。

记两个多项式 \(A(x)\) 和 \(B(x)\) , \(A_i\) 为 \(A(x)\) 的 \(i\) 次项系数 , \(B_i\) 为 \(B(x)\) 的 \(i\) 次项系数 , 满足 \(A_0 = 1\) \(B_0 = 0\)

\(A(x) = e^{B(x)}\)

\(B(x) = \ln(A(x))\)

两边求导：

\(B'(x) = \frac{A'(x)}{A(x)}\)

\(xA(x)B'(x) = xA'(x)\)

\(nA_n = \sum\limits_{i=1}^{n} iB_iA_{n-i}\)

\(A_n = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} iB_iA_{n-i}\)

\(B_n = A_n - \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n-1} iB_iA_{n-i}\)

然后就可以 \(\Theta(n^2)\) 求 ln 和 Exp 了。