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正则二分图为所有点度数相等的二分图。
如果正则二分图有边,那么由 Hall 定理可以证明这个二分图必然有完美匹配。
判断一个数是否为两个平方数 \(a^2\) 和 \(b^2\) 的和 :
等价于奇质因子都是mod 4=1的数.
判断一个数是否为两个平方数 \(a^2\) 和 \(b^2(\gcd(a,b) = 1)\) 的和 :
等价于奇质因子都是mod 4=1的数,并且不能是 4 的倍数。
那么就可以用分解质因数的方法check, \(\Theta(n^{\frac{1}{4}} \log n)\) 或 \(\Theta(\sqrt n)\)
https://blog.csdn.net/VFleaKing/article/details/88809335
二分图相关结论:
1、求二分图最大独立集:先求个最大匹配,然后从未匹配的左部点开始沿着残量网络 dfs , dfs到的左部点和未dfs到的右部点为最大独立集
2、求二分图最小覆盖:最大独立集的补集
3、求DAG最长反链:最长反链长度 = 最小可重链覆盖大小。
最长反链如何求方案:
先求出传递闭包,建出拆点二分图并求出其最大匹配\(.\)
考虑求出拆点二分图的最大独立集,左右都在最大独立集里的点\(i\)就在最长反链里\(.\)
4、匹配的必须边和可行边。
如果一个匹配边的两个端点在残量网络上强联通 则 这个不是必须边,反之亦然;
如果一个匹配边的两个端点在残量网络上强联通 则 这个是可行边,反之亦然;
5、一个点是否一定在一个完美匹配中:
考虑它的补集,即不在匹配上的点:从未匹配点上开始沿残量网络 dfs , dfs 到的点就是不在匹配上的点。
竞赛图的一些性质:
https://www.cnblogs.com/acha/p/9042984.html