[CEOI2020 D2T3 / CF1403C] 象棋世界Chess Rush 题解
这道题分为三个不同的子任务.
subtask1 : \(T = 'P'/'R'/'Q'\)
这个部分直接暴力即可,注意 \(T = 'Q'\) 的部分有一点细节.
subtask2 : \(T = 'B'\)
首先先判掉 \(1+R+c1+cr\) 是奇数的情况 . 这样的情况必然无解 .
枚举第一步是往左走然后往右走,然后贪心的往下跳,每一步都撞到边界,直到当前坐标 \((x,y)\) 满足 \(x\geq R,y=cr\)
那么我们就求出了最优的步数。
方案数实际上就是考虑，记 \(d=\frac{x-R}{2}\) , \(t\) 为转弯的次数,即步数 \(-1.\)
然后相当于在每个转弯的地方我可以缩进去一些距离 ，这些距离的和为 d ，那么这就是一个经典组合问题 , 答案为 \(\binom{t+d-1}{d}\).
因为 d 是多出来的距离 , 不会超过 \(O(C)\) 级别 , 但是 t 是 \(O(\frac{R}{C})\) 的 , 可能很大 , 所以我们使用 \(O(C)\) 的方法求组合数 .
那么就能做到每组询问 \(O(C)\) 查询了 .
subtask3 : \(T = 'K'\)
一个 \(O((C+Q)C^2 + Q \times C \log C \log R)\) 做法
\(O(C^3)\) 暴力dp,然后使用 \(O(Q)\) 次BM算法求出递推式,总复杂度 \(O((C+Q)C^2)\) ，每次查询使用【模板】常系数齐次线性递推的科技来查询答案.
优化1:减少跑BM的次数
因为特征多项式 \(F\) 只有一个,并且只要求 \(x^R\) 对 \(F\) 取模的结果,并且 \(R\) 是一个定值,所以可以先 \(O(C^2\log R)\) 或 \(O(C^2+C \log C \log R)\) 的复杂度求出取模之后的多项式,查询的时候直接 \(O(C)\) 就可以了.
复杂度上线性递推部分少了一个 \(O(C)\) \(,\)不过还是需要 \(O(C^3)\) 的暴力DP,所以复杂度实际上并没有变优.
优化2:优化掉暴力DP的 \(O(C^3)\)
因为前 \(C\) 步不可能上下同时越界\(,\)所以就分别容斥掉越上界/下界的情况就可以了.需要 \(O(C^2)\) DP一下容斥的结果,然后就可以支持 \(O(1)\) 查询暴力 DP 的结果了.
那么查询还是 \(O(C)\) ,不过预处理的复杂度从 \(O(C^3)\) 降到了 \(O(C^2)\)
优化3:优化求特征多项式的复杂度
特征多项式 \(F_C=(λ-1)F_{C-1}-F_{C-2},\) 所以可以 \(O(C^2)\) 直接计算,不需要使用BM了.
并且可以发现,把 \(n\) 个单位根的点值带进去,然后IDFT,就可以直接获得所求多项式的系数,复杂度 \(O(C\log C).\)
如果使用线性递推的科技,可以获得 \(O(C^2 + C \log C \log R)-O(C)\) 的复杂度.
优化4:进一步优化暴力DP解的计算/预处理
EI 对暴力 DP的解解出了一个封闭形式.
理论上可以优化到\(O(C\log C\log R)-O(C)\) 大家快来膜EI
我写的是不用NTT的做法,是 \(O(C^2 \log R)-O(C)\) 的.
代码 : 见云剪贴板
