2020-6~7杂题选做

不难证明最小的次数$k=max(\lceil \frac{a}{b+1} \rceil,\lceil \frac{b}{a+1} \rceil),$然后数列一定是形如$AAAABAAAABAAAAB...$然后$BBBABBBBABBBBA...$的形态$,$二分一下分隔点然后对每个位置$O(1)$判断即可$.$

$O(T(\log a+(d-c)))$

AT3859 [AGC020E] Encoding Subsets

直接记忆化搜索即可$.$可以证明$,$状态总数不会超过$O(2^{\frac{n}{8}}+n^3).$

复杂度是$O(n^2S)$的$,$其中$S$表示状态数$.$

AT3860 [AGC020F] Arcs on a Circle

首先破环为链$,$令最长的$l_i$所在的位置为$0.$

然后对其它的$l_i,$枚举它们位置的小数部分的大小关系$,$然后再$dp$即可$.$

$O((n-1)!\times 2^{n-1} \times (c\times n)^2).$

P5894 [IOI2013]robots 机器人

my solution

首先题意可以转化为$:$每个玩具有两个属性值$x_i,y_i,$弱机器人可以拿掉$x_i<A_i$的玩具$,$小机器人可以拿掉$y_i<B_i$的玩具$.$

不难想到可以二分答案$.$

考虑如何$check$是否能在$mid$分钟的时间内拿走所有的玩具$.$

首先如果只有一维$,$显然可以直接对$x_i$和$A_i$排序然后丢掉多余的机器人$,$直接比大小即可$.$

那么多加了一维就是对$x$先贪心$,$每次尽量拿走$y$更大的数字即可$.$

这个贪心很容易用一个堆来实现$.$

$O(n\log ans \log n).$

CF526G Spiders Evil Plan

首先选$y$条链相当于找$2y$个叶子节点$,$把它们都联通的边集的边权和$.$

不难发现必然会选到直径的两个端点$,$所以把两个直径拿出来分别建树$.$

如果没有强制包含$x$的限制$,$那么就可以直接长剖贪心$.$

但是$x$不一定会在选$2y-1$个叶子节点的方案当中$,$

那么我们考虑这两种情况$:$

在$2y-2$的方案上加一条包含$x$的长链$.$

在$2y-1$的方案上换掉一条长链$,$并加上一条包含$x$的长链$.$

这个过程可以用树上倍增实现$.$

$O((n+q)\log n).$

CF1043F Make It One

不难发现答案$\leq 7.$

枚举答案$,$容斥$check$就可以了$.$

$O(n\log n\times ans).$

CF241D Numbers

只保留$a_i\leq 24$的数值$,$然后$O(2^{24})$暴力即可$.$

P4491 [HAOI2018]染色

二项式反演题$.$

$f_n = $ 钦定 $n$ 种颜色满足条件的方案数

$g_n = $ 恰好 $n$ 种颜色满足条件的方案数

我们要求的是$g_{0..n},$但是$g$不容易直接求$,$那么就先求出$f_{0..n}$然后二项式反演即可得到$g.$

反演的部分可以用$NTT$实现$.$

$O(T\log T),$其中$T=\min(m,\lfloor\frac{n}{S} \rfloor).$

P3943 星空
 CF79D Password

状压$dp.$

把问题转换为差分序列上的问题$,$然后就可以状压$dp$了$.$

转移值可以通过$bfs$提前求出$.$

CF809E Surprise me!

反演题$.$

记$p_i$为权值为$i$的点是什么$.$

$\large \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}φ(a_ia_j)dis(i,j)$

$\large = \sum\limits_{i=1}^{{n}\sum\limits_{j=1}}φ(ij)dis(p_i,p_j) $

$\large = \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\frac {\large φ(i)φ(j)\gcd(i,j)}{\large φ(\gcd(i,j))} dis(p_i,p_j)$

$\large = \sum\limits_{d=1}^{n} \frac{\large d}{\large φ(d)} \sum\limits_{i=1}^{\large \lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\large \lfloor \frac{n}{d} \rfloor} φ(id)φ(jd)dis(p_{id},p_{jd})[i\perp j]$

$\large = \sum\limits_{d=1}^{n} \frac{\large d}{\large φ(d)} \sum\limits_{p=1}^{\large \lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \mu(p)\sum\limits_{i=1}^{\large \lfloor \frac{n}{dp} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\large \lfloor \frac{n}{dp} \rfloor} φ(idp)φ(jdp)dis(p_{idp},p_{jdp})$

令$T=dp,$把$T$提出来$:$

$\large \sum\limits_{T=1}^{n} (\large \sum\limits_{d|n}\frac{\large d}{\large φ(d)} \mu(\large \frac{\large T}{\large d}))\sum\limits_{i=1}^{\large \lfloor \frac{n}{T} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\large \lfloor \frac{n}{T} \rfloor} φ(iT)φ(jT)dis(p_{iT},p_{jT})$

枚举$T,$然后建虚树$,$在虚树上求答案即可$.$

$O(n\log n).$

SP22549 DIVFACT4 - Divisors of factorial (extreme)

对于每组询问$,$小于$\sqrt n$的部分暴力$,$大于$\sqrt n$的部分可以数论分块$.$

问题变为若干个询问区间质数个数的问题$,$且询问端点$($ 除了其中最多一个 $)$ 都是形如$\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$ 的数$,$因此$Min25$筛即可解决$.$

$O(T(\large \sqrt{n}+\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log n}))$

注意模数很大$,$要使用快速乘$.$

CF666D Chain Reaction

$O(2^4)$枚举每个点的移动方向$.$

然后分五类讨论即可$($

P3380 【模板】二逼平衡树（树套树）

在值域上建线段树$,$线段树上套平衡树维护每个点所包含值域区间的下标集合$.$