机器学习数学基础Datawhale-8月（5）笔记

机器学习数学基础Datawhale-8月（5）

事先声明：本文中未作说明的图片均出自《2022考研数学张宇基础30讲》

中值定理

涉及函数的中值定理

前提：f(x)在[a,b]上连续，则

有界与最值定理

m≤f(x)≤M，其中，m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小值和最大值

必须是闭区间

介值定理

m≤μ≤M时，存在ξ∈[a,b]使得f(ξ)=μ

平均值定理

零点定理

当f(a)·f(b)<0时，存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0

f(a)f(b)异号

ξ不会=a或者b，因为此时f(a)·f(b)=0

涉及导数（微分）的中值定理

费马定理

是f'(x)=0的必要条件

证明过程：

罗尔定理

三个条件缺一不可，其中2通过费马定理保证了存在f'(x)=0

拉格朗日中值定理

相当于罗尔定理绕点a旋转一定角度得到，导数=0变为了导数=a到b的斜率

另外的形式：

f(b)-f(a)=f'(a+θ(b-a))(b-a)，θ∈(0,1)

f(a+h)-f(a)=f'(a+θh)h，θ∈(0,1)

柯西中值定理

泰勒公式

近似替代，后边加了误差

几个重要的泰勒展开式：