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信号与系统--正弦信号和指数信号

  • 正弦信号
  • 指数信号

正弦信号

连续正弦信号的定义:

x(t)=Acos(ω0t+ϕ)

其中,A为振幅,ω0和频率有关,ϕ是相位

python绘制连续正弦信号例子(注意计算机中保存的都是离散的数字,这里之所以能绘制出连续的正弦信号是因为精度和描点,看起来像是连续的,实际上放大后是离散的):

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x = np.arange(0,10,0.01)
omega = 1
phi = 1
y = np.sin(omega*x+phi)
plt.plot(x,y)
plt.xlim((0,10))
plt.grid()

  

  

正弦信号的性质:

a)周期性:

x(t)=x(t+T0)==>Acos[ω0+ϕ]=Acos[ω0+ω0T0+ϕ]

ω0T0=2πm,其中m为整数:T0=2πmω0=> 周期为:2πmω0

b) 时间转移与相位改变等价

Acos[ω0(t+t0)]=Acos[ω0t+ω0t0],其中ω0t0 为相位改变

Acos[ω0(t+t0)+ϕ]=Acos[ω0t+ω0t0ϕ]

c) 奇偶性

偶函数 x(t)=x(t)

奇函数 x(t)=x(t)

离散正弦信号的定义:

x[n]=Acos(ω0n+ϕ)

其中,A为振幅,ω0和频率有关,ϕ是相位。

 

python绘制离散正弦信号例子

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x = np.arange(0,10,0.1)
omega = 1
phi = 1
y = np.sin(omega*x+phi)
plt.plot(x,y,'o')
plt.xlim((0,10))
plt.grid()

 当然离散的性质和连续的一样,这里只举几个例子:

a) 时间转移与相位改变等价

Acos[ω0(n+n0)]=Acos[ω0n+ω0n0],其中n0=Δϕ

b) 在离散的信号,相位转移=>时间改变???

注意,这里相位改变Δϕ 不一定可以整除 ω0

c) 周期性:

Ω0N=2πm => N=2πmΩ0

 

连续信号和离散信号区别


a)  x(t)=Acos(ω0t+ϕ), 任何 ω0 都体现周期性。

b)  x[n]=Acos(Ω0n+ϕ),N=2πmΩ0 只有整数的情况下才成立。

 

指数信号

连续指数信号的定义:

x(t)=Ceat

其中,C和a都是实数。a>0的时候绘制如下曲线

 

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x = np.arange(0,10,0.01)
C = 1
a = 1
y = C*np.exp(a*x)
plt.plot(x,y)
plt.xlim((0,10))
plt.grid()

  

离散指数信号的定义:

x[n]=Ceβn=Cαn

 C和α都是实数

 

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x = np.arange(0,10,0.1)
C = 1
a = 1
y = C*np.exp(a*x)
plt.plot(x,y,'o')
plt.xlim((0,10))
plt.grid()

  

 

 

 

 

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x = np.arange(-10,2,1)
C = -1
a = -0.5
y = np.power(a,x)
plt.plot(x,y,'o')
plt.xlim((-10,2))
plt.grid()

 当α<0and|a|<1,此时如果类似x[n]=Ceβn=Cαn,要写出这样的等式,那么就出现了复数。

复数:x(t)=Ceat,其中C和a都是复数,那么

a) C=|a|ejθ,

b) a=r+jω0,

c) x(t)=|C|ejθe(r+jω0)t=|C|ertej(ω0t+θ),其中根据欧拉公式:

ej(ω0t+θ)=cos(ω0t+θ)+jsin(ω0t+θ) 

当然,也能写成离散的形式:

ej(Ω0n+θ)=cos(Ω0n+θ)+jsin(Ω0n+θ)

并且根据欧拉公式,此时复数的指数函数出现了周期性。

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