信号与系统--正弦信号和指数信号

• 正弦信号
• 指数信号

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正弦信号

连续正弦信号的定义:

$x(t)=Acos(\omega_0 t+\phi)$

其中，A为振幅，$\omega_0$和频率有关，$\phi$是相位

python绘制连续正弦信号例子(注意计算机中保存的都是离散的数字，这里之所以能绘制出连续的正弦信号是因为精度和描点，看起来像是连续的，实际上放大后是离散的)：

x = np.arange(0,10,0.01)
omega = 1
phi = 1
y = np.sin(omega*x+phi)
plt.plot(x,y)
plt.xlim((0,10))
plt.grid()

　　

　　

正弦信号的性质：

a)周期性：

$x(t)=x(t+ T_0)$==>$Acos[\omega_0+\phi]=Acos[\omega_0+\omega_0 T_0 +\phi]$

$\omega_0 T_0=2\pi m$，其中m为整数：$T_0=\frac{2\pi m}{\omega_0}$=> 周期为：$\frac{2\pi m}{\omega_0}$。

b) 时间转移与相位改变等价

$Acos[\omega_0 (t+t_0)]=Acos[\omega_0 t+\omega_0 t_0]$，其中$\omega_0 t_0$ 为相位改变

$Acos[\omega_0 (t+t_0) + \phi]=Acos[\omega_0 t+\omega_0 t_0  \phi]$

c) 奇偶性

偶函数 $x(t)=x(-t)$

奇函数 $x(t)=-x(-t)$

离散正弦信号的定义:

$x[n]=Acos(\omega_0 n+\phi)$

其中，A为振幅，$\omega_0$和频率有关，$\phi$是相位。

 

python绘制离散正弦信号例子

x = np.arange(0,10,0.1)
omega = 1
phi = 1
y = np.sin(omega*x+phi)
plt.plot(x,y,'o')
plt.xlim((0,10))
plt.grid()

　当然离散的性质和连续的一样，这里只举几个例子：

a) 时间转移与相位改变等价

$Acos[\omega_0 (n+n_0)]=Acos[\omega_0 n+\omega_0 n_0]$，其中$n_0=\Delta \phi$。

b) 在离散的信号，相位转移=>时间改变？？？

注意，这里相位改变$\Delta \phi$ 不一定可以整除 $ \omega_0$

c) 周期性：

$\Omega_0 N = 2\pi m$ => $N = \frac{2\pi m}{\Omega_0}$

 

连续信号和离散信号区别

a)  $x(t)=Acos(\omega_0 t+\phi)$, 任何 $\omega_0$ 都体现周期性。

b)  $x[n]=Acos(\Omega_0 n+\phi)$,$N = \frac{2\pi m}{\Omega_0}$ 只有整数的情况下才成立。

 

指数信号

连续指数信号的定义:

$x(t)=C e^{at}$

其中，C和a都是实数。$a>0$的时候绘制如下曲线

 

x = np.arange(0,10,0.01)
C = 1
a = 1
y = C*np.exp(a*x)
plt.plot(x,y)
plt.xlim((0,10))
plt.grid()

　　

离散指数信号的定义:

$x[n]=C e^{\beta n}= C \alpha^{n}$

 C和$\alpha$都是实数

 

x = np.arange(0,10,0.1)
C = 1
a = 1
y = C*np.exp(a*x)
plt.plot(x,y,'o')
plt.xlim((0,10))
plt.grid()

　　

 

 

 

 

x = np.arange(-10,2,1)
C = -1
a = -0.5
y = np.power(a,x)
plt.plot(x,y,'o')
plt.xlim((-10,2))
plt.grid()

　当$\alpha <0 and \left | a \right | <  1 $，此时如果类似$x[n]=C e^{\beta n}= C \alpha^{n}$，要写出这样的等式，那么就出现了复数。

复数：$x(t)=C e^{at}$，其中C和a都是复数，那么

a) $C =  \left | a \right | e^{j\theta}$,

b) $ a= r+j\omega_0$,

c) $x(t) =  \left | C \right | e^{j\theta} e^{(r +j\omega_0)t} = \left | C \right | e^{rt} e^{j(\omega_0 t+ \theta)} $，其中根据欧拉公式：

$e^{j(\omega_0 t+ \theta)}=cos(\omega_0 t + \theta) + j sin( \omega_0 t + \theta)$ 

当然，也能写成离散的形式：

$e^{j(\Omega_0 n+ \theta)}=cos(\Omega_0 n + \theta) + j sin( \Omega_0 n + \theta)$

并且根据欧拉公式，此时复数的指数函数出现了周期性。