算法笔记-二叉树
之前说的栈和队列都是线性表结构，树是非线性表结构。
关于树的常用概念：根节点、叶子节点、父节点、子节点、兄弟节点，还有节点的高度、深度、层数，以及树的高度。
最常用的树就是二叉树（Binary Tree）。二叉树的每个节点最多有两个子节点，分别是左子节点和右子节点。
二叉树中，有两种比较特殊的树，分别是满二叉树和完全二叉树。满二叉树又是完全二叉树的一种特殊情况。
二叉树的两种存储方式：
- 用链式存储：
-
- 每个节点有三个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。
- 我们只要拎住根节点，就可以通过左右子节点的指针，把整棵树都串起来。
- 这种存储方式我们比较常用。大部分二叉树代码都是通过这种结构来实现的。
- 用数组顺序存储：
-
- 如果节点 X 存储在数组中下标为 i 的位置，下标为 2 * i 的位置存储的就是左子节点，下标为 2 * i + 1 的位置存储的就是右子节点。
- 反过来，下标为 i/2 的位置存储就是它的父节点。
- 通过这种方式，我们只要知道根节点存储的位置（一般情况下，为了方便计算子节点，根节点会存储在下标为 1 的位置），这样就可以通过下标计算，把整棵树都串起来。
- 数组顺序存储的方式比较适合 完全二叉树，其他类型的二叉树用数组存储会比较浪费存储空间。
如果某棵二叉树是一棵完全二叉树，那用数组存储是最节省内存的一种方式。因为数组的存储方式并不需要像链式存储法那样，要存储额外的左右子节点的指针。（这也是为什么完全二叉树会单独拎出来的原因，也是为什么完全二叉树要求最后一层的子节点都靠左的原因。）堆 就是一种完全二叉树，最常用的存储方式就是数组。
【二叉树的遍历】
二叉树里非常重要的操作就是前序遍历、中序遍历、后序遍历，用递归代码来实现遍历的时间复杂度是 O(n)。其中，前、中、后序，表示的是节点与它的左右子树节点遍历打印的先后顺序。
- 前序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
-
- preOrder(r) = print r->preOrder(r->left)->preOrder(r->right)
- 中序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它本身，最后打印它的右子树。
-
- inOrder(r) = inOrder(r->left)->print r->inOrder(r->right)
- 后序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印这个节点本身。
-
- postOrder(r) = postOrder(r->left)->postOrder(r->right)->print r
【二叉查找树（Binary Search Tree）】
二叉查找树是为了实现快速查找而生的，它不仅仅支持快速查找一个数据，还支持快速插入、删除一个数据。
二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。
1. 二叉查找树的查找操作
先取根节点，如果它等于我们要查找的数据，那就返回。如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子树中递归查找；如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。（感觉有点像 二分查找）
2. 二叉查找树的插入操作
二叉查找树的插入过程有点类似查找操作。新插入的数据一般都是在叶子节点上，所以我们只需要从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。
3. 二叉查找树的删除操作
针对要删除节点的子节点个数的不同，需要分三种情况来处理：
- 如果要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中，指向要删除节点的指针置为 null。
- 如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。
- 如果要删除的节点有两个子节点，需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。
4. 二叉查找树的其他操作
二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。
二叉查找树还有一个重要的特性，就是中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度是 O(n)，非常高效。因此，二叉查找树也叫作二叉排序树。
支持重复数据的二叉查找树：如果存储的两个对象键值相同，有两种解决方法。
- 第一种方法：二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据，因此我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据都存储在同一个节点上。
- 第二种方法：每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中，如果碰到一个节点的值，与要插入数据的值相同，我们就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树，也就是说，把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。当要查找数据的时候，遇到值相同的节点，我们并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。对于删除操作，我们也需要先查找到每个要删除的节点，然后再按前面讲的删除操作的方法，依次删除。
二叉查找树的时间复杂度分析：
完全二叉树（或满二叉树），不管操作是插入、删除还是查找，时间复杂度其实都跟树的高度成正比，也就是 O(height)。二叉查找树在比较平衡的情况下，插入、删除、查找操作时间复杂度是O(logn)。
* 有了高效的散列表（时间复杂度是 O(1)），为什么还需要二叉查找树？
- 散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序。而对于二叉查找树来说，我们只需要中序遍历，就可以在 O(n) 的时间复杂度内，输出有序的数据序列。
- 散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳定，但是在工程中，我们最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在O(logn)。
- 笼统地来说，尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的，但因为哈希冲突的存在，这个常量不一定比 logn 小，所以实际的查找速度可能不一定比 O(logn) 快。加上哈希函数的耗时，也不一定就比平衡二叉查找树的效率高。
- 散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。
- 为了避免过多的散列冲突，散列表装载因子不能太大，特别是基于开放寻址法解决冲突的散列表，不然会浪费一定的存储空间。
综合这几点，平衡二叉查找树在某些方面还是优于散列表的，所以，这两者的存在并不冲突。
