乘法逆元

对于1~n所有数字的lcm,应该是1~n中所有质数P的 以P为底数对于n的对数 次幂的乘积

即 lcm = ∏ p^log_pn   。

码题集OJ-跑步 (matiji.net)

线性筛  + 乘法逆元

由题意，1~n每个人最后都重新一起在终点相遇时间停止，那么终止时间则为1~n的所有lcm,

根据上面方法，得到结束的t后，我们再来算每个人在途中会和多少人相遇,我们可以知道每个

人跑的圈数为t / i,，我们把相遇看作成追击问题，他只能追上比自己慢的人，即第i个人，可以

和第 i + 1 ~  n 个人相遇,假设a在追击b，那么他们在t时刻能相遇的次数为t/a - t/b ，那么这些

人追上的次数总和为(n - i) * (t / i) - sum(t / j),j €(i + 1,n),这是他能提供的贡献，对于1~n的所有

人，我们可以帮他的贡献分成两部分，一部分是正贡献，可以追上(i + 1,n)个人，可以被(1,i - 1)

个人追上的负贡献，那么对于第i个人的贡献，他的总贡献为(t / i) * (n - 2 * i + 1),最后累加每个人

的贡献即可求出答案，

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define ll long long
#define endl '\n'
#define all(a) a.begin(), a.end()
#define pb push_back
#define cy cout << "YES" << endl
#define cn cout << "NO" << endl
#define x first
#define y second
#define rep(i, l, r) for (int i = l; i <= r; i++)
#define debug(_x) cout << #_x << '=' << _x << endl
typedef pair<int, int> PII;
const double eps = 1e-8;
const double pi = acos(-1);
const int mod = 998244353;
const int N = 1e7 + 10;

bool vis[N];
int inv[N];
vector<int> primes;

void solve()
{
    int n;
    cin >> n;
    int lcm = 1;
    // 求以a为底数b的对数
    auto mylog = [&](int a, int b)
    {
        return floor(log(b) / log(a));
    };
    auto qsm = [&](int a, int b)
    {
        int res = 1;
        while (b)
        {
            if (b & 1)
                res = res * a % mod;
            a = a * a % mod;
            b >>= 1;
        }
        return res;
    };
    inv[1] = 1;
    int ans = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {                                                  // 线性筛求质数
        inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod; // 线性逆元
        if (!vis[i])
        {
            primes.pb(i);
            lcm = lcm * qsm(i, mylog(i, n)) % mod;
        }
        for (int p : primes)
        {
            if (p * i > n)
                break;
            vis[p * i] = 1;
            if (i % p == 0)
                break;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int cnt = lcm * inv[i] % mod;
        ans = (ans + cnt * (n - 2 * i + 1) % mod + mod) % mod;
    }
    cout << ans % mod << endl;
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int _ = 1;
    // cin >> _;

    while (_--)
        solve();

    return 0;
}