背包问题

1. 01背包问题

二维表示

对于01背包一维优化的一点理解：
二维转化为一维：
删掉了第一维：在前i个物品中取。
f[j]表示：拿了总体积不超过j的物品，最大总价值。

为何能转化为一维？
二维时的更新方式：f[i][j]=max(f[i - 1][j] ,f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
1.我们发现，对于每次循环的下一组i，只会用到i-1来更新当前值，不会用到i-2及之前值。于是可以在这次更新的时候，将原来的更新掉，反正以后也用不到。
所以对于i的更新，只需用一个数组，直接覆盖就行了。
2.我们发现，对于每次j的更新，只需用到之前i-1时的j或者j-v[i]，不会用到后面的值。
所以为了防止串着改，我们采取从后往前更新的方式，用原来i-1的数组来更新i。
（如果从前往后更新的话，前面的更新过之后，会接着更新后面的值，这样就不能保证是用原来i-1的数组来更新i的了）

如何转化为一维呢？
只用一个数组，每次都覆盖前面的数组。

1.如果当前位置的东西不拿的话，和前一位置的信息（原来i-1数组的这个位置上的值）是相同的，所以不用改变。
2.如果当前位置的东西拿了的话，需要和前一位置的信息（原来i-1数组的这个位置上值）取max。
所以，更新方式就为：f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);

整个更新方式就相当于：

每次i++，就从后往前覆盖一遍f数组，看每个位置上的值是否更新

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1010;
int n,m; //个数和背包容量
int v[N],w[N]; //每个物品的体积和价值
int f[N][N]; //表示状态

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i]; //读入所有的物品
    
    // f[0][0 ~ m] = 0; //0个没有意义，且全局变量已经初始化
    
    //f[i][j] 表示从1~i的数，总价值不超过j的集合
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) //枚举个数
      for (int j = 0; j <= m; j ++ ) //枚举体积
      {
          f[i][j] = f[i - 1][j];
          if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i - 1][j - v[i]] + w[i]); //判断是否为空集
      }
      cout << f[n][m];
      
      return 0;
}

 

一维滚动数组表示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1010;
int n,m; //个数和背包容量
int v[N],w[N]; //每个物品的体积和价值
int f[N]; //表示状态

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i]; //读入所有的物品
    
    // f[0][0 ~ m] = 0; //0个没有意义，且全局变量已经初始化
    
    //f[i][j] 表示从1~i的数，总价值不超过j的集合
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) //枚举个数
      for (int j = m; j >= v[i]; j -- ) //枚举体积
      {
          //f[j] = f[j],去掉了f[i]那一层
          //要使得j >=v[i]才有结果，所以可以让循环从j = v[i]开始
          //但由于j - v[i] < v[i],所以在这第i层循环中已经被遍历过了
          //等价于   f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i][j - v[i]] + w[i]),但正确的是f[i - 1];
          //所以将其反过来遍历一次，此时 j -v[i] > v[i],没有在之前被遍历过
          //if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i - 1][j - v[i]] + w[i]); 
          f[j] = max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]);
      }
      cout << f[m] << endl;
      
      return 0;
}

 

 

2.完全背包问题

详情请看代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }

    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    for(int j = 0 ; j <= m ;j ++)
    {
        for(int k = 0 ; k*v[i] <= j ; k ++)
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
    }

    cout<<f[n][m]<<endl;
}

//优化思路(列举一下更新次序的内部关系)
/*  f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w ,  f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
    f[i , j-v]= max(            f[i-1,j-v]   ,  f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-3*v]+2*w , .....)
由上两式，可得出如下递推关系： 
    f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j]) */
    
//有上述关系，k循环则可以不要，核心代码简化
/*for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
{
    f[i][j] = f[i-1][j];
    if(j-v[i]>=0)
        f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
} */

//对比01背包核心问题
/*for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
for(int j = 0 ; j <= m ; j ++)
{
    f[i][j] = f[i-1][j];
    if(j-v[i]>=0)
        f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
} */

//代码最终简化
/*for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = v[i] ; j<=m ;j++) //注意了，这里的j是从小到大枚举，和01背包不一样
    {
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    } */


#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N];
int v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }

    for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)
    {
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
    cout<<f[m]<<endl;
}

 

3.多重背包问题

<1> 朴素版

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 110;

int v[N], w[N], s[N];
int f[N][N];
int n, m;

int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];

    for(int i = 1; i <= n; i ++){//枚举背包
        for(int j = 1; j <= m; j ++){//枚举体积
            for(int k = 0; k <= s[i] && j >=  k * v[i]; k ++){
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
            }
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

 <2>二进制优化

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 12010, M = 2010;

int n, m;
int v[N], w[N]; //逐一枚举最大是N*logS
int f[M]; // 体积<M

int main()
{
    cin >> n >> m;
    int cnt = 0; //分组的组别
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int a,b,s;
        cin >> a >> b >> s;
        int k = 1; // 组别里面的个数
        while(k<=s)
        {
            cnt ++ ; //组别先增加
            v[cnt] = a * k ; //整体体积
            w[cnt] = b * k; // 整体价值
            s -= k; // s要减小
            k *= 2; // 组别里的个数增加
        }
        //剩余的一组
        if(s>0)
        {
            cnt ++ ;
            v[cnt] = a*s; 
            w[cnt] = b*s;
        }
    }

    n = cnt ; //枚举次数正式由个数变成组别数

    //01背包一维优化
    for(int i = 1;i <= n ;i ++)
        for(int j = m ;j >= v[i];j --)
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]] + w[i]);

    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

 

4.分组背包问题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110;

int n,m;
int v[N][N],w[N][N],s[N];
int f[N];


int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) //枚举物品组
    {
        cin >> s[i];
        for (int j = 0; j < s[i]; j ++ )
         cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }
    
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) //枚举每一组物品
       for (int j = m; j >= 0; j -- )
          for (int k = 0; k < s[i]; k ++ ) //枚举每组物品中的每个选择
          {
              if(v[i][k] <= j)
              f[j] = max(f[j],f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
          }
    
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}