前缀和和差分

一维前缀和

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int N = 100010;
 5 int n,m;
 6 int a[N],s[N]; //初始化s[0] = 0
 7 
 8 int main()
 9 {
10     scanf("%d%d", &n, &m);
11     for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];
12     
13     for (int i = 1; i <= n; i ++ ) s[i] = s[i - 1] + a[i]; //前缀和读入(公式)初始化
14     
15     while (m -- ) // m次读入
16     {
17         int l,r;
18         scanf("%d%d", &l, &r);
19         printf("%d\n",s[r] - s[l - 1]);//部分前缀和
20     }
21     return 0;
22 }

例题：acwing 1230 k倍数=区间问题

时间换空间，且cnt[0] = 1;

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 100010;
int n,k;
LL A[N];
LL s[N],cnt[N];//cnt计算相同余数的序列的个数总和 
LL res;//计算不相等的余数的个数总和 

int main(){
    scanf("%d %d",&n,&k);

//为什么赋值为1？
//因为我们的思路是找两个序列和a%k和b%k的余数相同的个数
//而我们的前缀和一般是不包含S0这个东西的，因为没有意义，但是这道题有意义
//样例里面前缀和序列%k之后是1 1 0 0 1，两两比较，我们只能找到四个
//为什么少了两个？因为我们不一定需要两个序列，单个序列取余=0也构成K倍区间
//也就是说s3 s4这两个区间是能单独成K倍区间的，而我们的思路是找两个序列比较
//此时，我们就要假设S0=0是有意义的，我们就可以有(s0，s3),(s0,s4)这两个组合
    cnt[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        scanf("%lld",&A[i]);
        s[i] = s[i - 1] + A[i];
        s[i] = s[i] % k; 
        res += (cnt[s[i]]);
        cnt[s[i]] ++;//记录序列%k不同余数的个数 
        //cnt[s[i]]要在res之后做，因为它是记录总数，如果下面再加回去会重复。 
        /*不能写成
        cnt[s[i]]++;
        res+=(cnt[s[i]]);
        */
        //用笔写字调试一下就知道了 
    }
    //cnt[0] = 1; 
    /*for(int i = 1; i <= n; i ++){
        /*for(int j = i; j <= n; j ++){
            if(s[j] == 0 && j > 0) break;
            if((s[j] - s[i - 1]) % k == 0){
                res ++;
            }
        }
        改成一重循环可以从这里删去。
        这段代码的含义是： 当j固定时，在1-R之间，
                        找到有多少个L，满足([S[右端点] - S[左端点])%k == 0
        从含义上优化代码
        空间换时间 
        */
        //res += (cnt[s[i]]);
    /*我刚开始迷惑为什么不是当cnt[s[i]]>=2的时候才加， 
      现在懂了，因为不一定是两个区间的重叠序列构成K倍区间，
      一个序列本身如果连续和%k=0也构成K倍区间。故所有的都要加上
    */   

    /*10^10>10^8 TLE -> 要改为一重循环*/
    printf("%lld\n",res);
    return 0;
}

 

 

二维前缀和

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int N = 1010;
 5 int n,m,q;
 6 int a[N][N],s[N][N];
 7 
 8 int main()
 9 {
10     scanf("%d%d%d", &n, &m,&q);
11     for(int i = 1;i <= n; i ++)
12        for(int j = 1;j <= m; j ++)
13         scanf("%d", &a[i][j]);
14         
15     for(int i = 1; i <= n; i ++)
16        for(int j = 1; j <= m ; j ++)
17         s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j]; //求前缀和
18     
19     while(q -- )
20     {
21         int x1,y1,x2,y2;
22         scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
23         printf("%d\n",s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]);//算子矩阵的合
24     }
25     return 0;
26 }

 

 

        

 

S[i,j]S[i,j]即为图1红框中所有数的的和为：

S[i,j]=S[i,j−1]+S[i−1,j]−S[i−1,j−1]+a[i,j]S[i,j]=S[i,j−1]+S[i−1,j]−S[i−1,j−1]+a[i,j]
(x1,y1),(x2,y2)(x1,y1),(x2,y2)这一子矩阵中的所有数之和为：S[x2,y2]−S[x1−1,y2]−S[x2,y1−1]+S[x1−1,

 

一维差分

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n,m,q;
int a[N],b[N];

void insert(int l,int r,int c)
{
    b[l] += c;
    b[r+ 1 ] -= c;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    scanf("%d",&a[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) insert(i,i,a[i]); //假定a数组是空的，用差分导入a数组
    
    while (m -- )
    {
        int l,r,c;
        scanf("%d%d%d",&l, &r, &c);
        insert(l,r,c);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++) b[i] += b[i - 1]; //前缀和求b数组
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) printf("%d ",b[i]);
    return 0;
}

 

二维差分

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int a[N][N], b[N][N];
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main()
{
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            cin >> a[i][j];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);      //构建差分数组
        }
    }
    while (q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];  //二维前缀和
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            printf("%d ", b[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}