[NOIP 2011] 聪明的质检员

聪明的质检员

描述

小 T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有n个矿石，从1到n逐一编号，每个矿石都有自己的重量wi以及价值vi。检验矿产的流程是：
1、给定m个区间[Li，Ri]；
2、选出一个参数W；
3、对于一个区间[Li，Ri]，计算矿石在这个区间上的 检验值$Y_i$：
\[Y_i=(\sum_j {1}) \times(\sum_j v_j) ,j \in [L_i,R_i] \land \: w_i \geqslant W\]

其中 $j$ 为矿石编号

这批矿产的 检验结果Y 为各个区间的检验值之和 。即：

\[Y = \sum _{i=1} ^m Y_i\]

若这批矿产的 检验结果 与所给标准值S相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数W的值，让 检验结果 尽可能的靠近标准值S，即使得 S-Y 的绝对值最小。请你帮忙求出这个最小值。

格式

输入格式

第一行包含三个整数n，m，S，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。

接下来的n行，每行2个整数，中间用空格隔开，第i+1行表示i号矿石的重量wi和价值vi 。

接下来的m行，表示区间，每行2个整数，中间用空格隔开，第i+n+1行表示区间[Li,Ri]的两个端点Li和Ri。 注意：不同区间可能重合或相互重叠。

输出格式

输出只有一行，包含一个整数，表示所求的最小值。

样例1

样例输入1

5 3 15
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
1 5
2 4
3 3

Copy

样例输出1

10

Copy

限制

1s

提示

样例说明：当W选4的时候，三个区间上检验值分别为20、5、0，这批矿产的检验结果为25，此时与标准值S相差最小为10。

对于10%的数据，有1 ≤ n，m ≤ 10；
对于30%的数据，有1 ≤ n，m ≤ 500；
对于50%的数据，有1 ≤ n，m ≤ 5,000；
对于70%的数据，有1 ≤ n，m ≤ 10,000；
对于100%的数据，有1 ≤ n，m ≤ 200,000，0 < wi, vi ≤ 10^6，0 < S ≤ 10^12，1 ≤ Li ≤ Ri ≤ n。

 首先我们注意到题目中的 $W$ 值越大, $Y$ 一定会越小. 这满足单调性, 所以可以考虑二分 $W$ 使其尽可能接近 $Y$ (考试的时候有人查答案的时候在运算时直接作了差, 然后就得套绝对值符号, 然后就只能三分最后被卡了233333)

(还记得我第一次学会二分答案的奇技淫巧还是在写CodeForces的Rating计算器的时候w)

然后就是如何在已知 $W$ 的情况下快速求出 $Y$ . 

隔壁机房由于日常援疆然后无脑上树成功无故给复杂度加了个 $log$ 2333333

其实我们可以 $O(n)$ 预处理出前缀和, 然后 $O(1)$ 计算每个区间的查询. 前缀和要预处理两个, 分别是前 $i$ 个矿石中满足 $w_i \geq W$ 的矿石的价值和 $sum$ 以及前 $i$ 个矿石中满足 $w_i \geq W$ 的矿石个数. 然后就可以 $O(1)$ 响应每个区间查询辣w

单次计算一个 $W$ 值所对应的 $Y$ 的时间复杂度 $O(n+m)$. 总时间复杂度 $O(log(w_{max})\times (n+m))$

参考代码

GitHub

#include <set>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>

const int MAXN=200010;
const long long INF=0x7FFFFFFFFFFFFFFFll;

int n;
int m;
long long S;
int L[MAXN];
int R[MAXN];
long long maxw;
long long w[MAXN];
long long v[MAXN];
long long ans=INF;
long long sum[MAXN];
long long count[MAXN];

long long Y(int);
void Initialize();

int main(){
    Initialize();
    int l=0;
    int r=maxw;
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)/2;
        long long tmp=Y(mid);
        ans=std::min(ans,std::abs(tmp-S));
        if(tmp<S)
            r=mid-1;
        else
            l=mid+1;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

long long Y(int W){
    // fprintf(stderr, "W=%d\n", W);
    long long ret=0;
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    memset(count,0,sizeof(count));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        sum[i]=sum[i-1];
        count[i]=count[i-1];
        if(w[i]>=W){
            sum[i]+=v[i];
            count[i]++;
        }
        // fprintf(stderr, "sum[%d]=%lld ,cnt=%lld\n", i,sum[i],count[i]);
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        ret+=(sum[R[i]]-sum[L[i]-1])*(count[R[i]]-count[L[i]-1]);
    }
    // fprintf(stderr, "ret=%lld\n", ret);
    return ret;
}

void Initialize(){
    freopen("qc.in","r",stdin);
    freopen("qc.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%lld",&n,&m,&S);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld%lld",w+i,v+i);
        maxw=std::max(maxw,w[i]);
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        scanf("%d%d",L+i,R+i);
    }
}