[LOJ 2083][UOJ 219][BZOJ 4650][NOI 2016]优秀的拆分

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题意

给定一个字符串 \(S\), 求有多少种将 \(S\) 的子串拆分为形如 AABB 的拆分方案

\(|S|\le 30000\) (\(95\%\) 数据 \(|S|\le 2000\))

题解

考场上遇见这题直接打95分暴力哈希跑路就完事了吧

\(O(n^2)\) 暴力就直接枚举所有子串看它是不是 AA 型的, 在左右端点处分别标记一下, 然后枚举断点把两边的方案数乘起来就完事了.

考虑优化这个暴力. 我们枚举这个 AA 串中 A 的长度 \(l\), 然后每隔 \(l\) 取一个关键点, 那么每个 AA 串必然会覆盖两个关键点. 对于每对相邻的关键点 \(a\) 和 \(b\), 我们计算 \(p=\operatorname{LCP}(S[a:],S[b:])\) 以及 \(s=\operatorname{LCS}(S[:a-1],S[:b-1])\) . 那么只要 \(p+s\ge l\) 就会有 AA 串出现. 画画图可以发现 \([a-s,a-(l-p)]\) 都可以是 AA 串的左端点. 直接在差分数组上修改左右端点就可以了. 注意只能计算同时包含这两个相邻的关键点的 AA 串, 所以应该和 \([a-l+1,a]\) 取交集. 算完之后前缀和一下按照 \(O(n^2)\) 暴力里的操作算最终答案就可以了.

参考代码

#include <bits/stdc++.h>

const int MAXN=1e5+10;
typedef long long intEx;

struct SuffixArray{
	char s[MAXN];
	int SA[MAXN];
	int rank[MAXN];
	int stmin[20][MAXN];
	int* height=stmin[0];
	void Build();
	int LCP(int,int);
};
SuffixArray pf,sf;

int n;
int lg[MAXN];
int cnt[MAXN];
char buf[MAXN];
int lcnt[MAXN];
int rcnt[MAXN];
int* x=new int[MAXN];
int* y=new int[MAXN];

int LCP(int,int);
int LCS(int,int);

int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	for(int i=2;i<MAXN;i++)
		lg[i]=lg[i>>1]+1;
	while(T--){
		scanf("%s",buf+1);
		n=strlen(buf+1);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			pf.s[i]=sf.s[n-i+1]=buf[i];
		pf.Build();
		sf.Build();
		memset(lcnt,0,sizeof(int)*(n+1));
		memset(rcnt,0,sizeof(int)*(n+1));
		for(int len=1;(len<<1)<=n;len++){
			for(int a=1,b;(b=a+len)<=n;a=b){
				int p=LCP(a,b);
				int s=LCS(a-1,b-1);
				if(p+s>=len){
					int l=std::max(a-len+1,a-s);
					int r=std::min(a-(len-p),a);
					++lcnt[l];
					--lcnt[r+1];
					++rcnt[l+(len<<1)-1];
					--rcnt[r+(len<<1)];
				}
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			lcnt[i]+=lcnt[i-1];
			rcnt[i]+=rcnt[i-1];
		}
		intEx ans=0;
		for(int i=1;i<n;i++)
			ans+=1ll*rcnt[i]*lcnt[i+1];
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

int LCP(int a,int b){
	return pf.LCP(a,b);
}

int LCS(int a,int b){
	return sf.LCP(n-a+1,n-b+1);
}

int SuffixArray::LCP(int a,int b){
	if(a<1||a>n||b<1||b>n)
		return 0;
	else if(a==b)
		return n-a+1;
	else{
		a=rank[a];
		b=rank[b];
		if(a>b)
			std::swap(a,b);
		int p=lg[b-a];
		++a;
		return std::min(stmin[p][a],stmin[p][b-(1<<p)+1]);
	}
}

void SuffixArray::Build(){
	int m=127;
	memset(x,0,sizeof(int)*(n+2));
	memset(y,0,sizeof(int)*(n+2));
	memset(cnt,0,sizeof(int)*(m+1));
	for(int i=1;i<=n;i++)
		++cnt[x[i]=s[i]];
	for(int i=1;i<=m;i++)
		cnt[i]+=cnt[i-1];
	for(int i=n;i>=1;i--)
		SA[cnt[x[i]]--]=i;
	for(int k=1;k<n;k<<=1){
		int p=0;
		for(int i=n-k+1;i<=n;i++)
			y[++p]=i;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(SA[i]>k)
				y[++p]=SA[i]-k;
		memset(cnt,0,sizeof(int)*(m+1));
		for(int i=1;i<=n;i++)
			++cnt[x[i]];
		for(int i=1;i<=m;i++)
			cnt[i]+=cnt[i-1];
		for(int i=n;i>=1;i--)
			SA[cnt[x[y[i]]]--]=y[i];
		std::swap(x,y);
		x[SA[1]]=1;
		p=1;
		for(int i=2;i<=n;i++)
			x[SA[i]]=(y[SA[i]]==y[SA[i-1]]&&y[SA[i]+k]==y[SA[i-1]+k])?p:++p;
		if(p>=n)
			break;
		m=p;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		rank[SA[i]]=i;
	int k=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(rank[i]==1)
			continue;
		if(k)
			--k;
		int j=SA[rank[i]-1];
		while(i+k<=n&&j+k<=n&&s[i+k]==s[j+k])
			++k;
		height[rank[i]]=k;
	}
	for(int i=1;(1<<i)<=n;i++){
		for(int j=2;j<=n;j++){
			stmin[i][j]=stmin[i-1][j];
			if(j+(1<<(i-1))<=n)
				stmin[i][j]=std::min(stmin[i][j],stmin[i-1][j+(1<<(i-1))]);
		}
	}
}