[BZOJ 2820] YY的GCD

题意

求下式的值:

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \mathbb{P}(\gcd(i,j)) \]

其中 \(\mathbb{P}(x)\) 当 \(x\) 为质数时为 \(1\), 否则为 \(0\).

题解

反演真棒

\[\begin{align} f(x)&= \sum_i^N\sum_j^M[\gcd(i,j)=x] \\ F(x)&= \sum_{x|m}f(m) \\ &=\left \lfloor \frac N x \right \rfloor\left \lfloor \frac M x \right \rfloor \\ \text{Ans}&=\sum_p f(p) \\ &=\sum_p \sum_{p|m}F(m)\mu(\frac m p) \\ &=\sum_p \sum_{p|m}\left \lfloor \frac N m \right \rfloor\left \lfloor \frac M m \right \rfloor \mu\left(\frac m p\right) \\ &p|m\Rightarrow m=pd \\ &=\sum_p \sum_{d=1}^{\left \lfloor \frac N p \right \rfloor}\left \lfloor \frac N {pd} \right \rfloor\left \lfloor \frac M {pd} \right \rfloor \mu(d) \\ &\text{let} \ T = pd \Rightarrow d = \frac T p\\ &=\sum_{T=1}^N \sum_{p|T} \left \lfloor \frac N {T} \right \rfloor\left \lfloor \frac M {T} \right \rfloor \mu \left(\frac T p \right)\\ &=\sum_{T=1}^N \left \lfloor \frac N {T} \right \rfloor\left \lfloor \frac M {T} \right \rfloor \sum_{p|T} \mu \left(\frac T p \right) \end{align} \]

没有GCD就没有mu

搞出GCD来然后倍数反演, 然后xjb倒腾求和号把下取整部分的枚举翻到最外层, 然后筛里层就星了

里层就是

\[g(x)=\sum_{p | x}\mu\left(\frac x p\right) \]

里层的话设当前基数为 \(i\), 要乘上去的质数为 \(p\), 要筛的值为 \(t=pi\), 则当 \(p \not \mid i\) 的时候会给这个和式增加一项 \(\mu\left(\frac t p \right)\) 也就是 \(\mu(i)\), 同时原来的求和项中所有的 \(\mu\) 值都会因为新质因子的加入而被取反, 所以 \(g(t)=\mu(i)-g(i)\). 而当 \(p \mid i\) 的时候, 因为加入了平方因子, 那么所有的没有除去当前 \(p\) 的 \(\frac t {p'}\) 都会包含一个 \(p^2\) 因子, 所以 \(\mu\) 值为 \(0\), 唯一还能对这个和式产生贡献的就只有 \(\mu \left (\frac t p \right )\) 也就是 \(\mu (i)\) 了. 于是这种情况下 \(g(t)=\mu(i)\).