[BZOJ 2844] albus就是要第一个出场

2844: albus就是要第一个出场

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Description

已知一个长度为n的正整数序列A（下标从1开始）， 令 S = { x | 1 <= x <= n }, S 的幂集2^S定义为S 所有子

集构成的集合。定义映射 f : 2^S -> Zf(空集) = 0f(T) = XOR A[t] , 对于一切t属于T现在albus把2^S中每个集

合的f值计算出来， 从小到大排成一行， 记为序列B（下标从1开始）。 给定一个数， 那么这个数在序列B中第1

次出现时的下标是多少呢？

Input

第一行一个数n, 为序列A的长度。接下来一行n个数， 为序列A， 用空格隔开。最后一个数Q， 为给定的数.

Output

共一行， 一个整数， 为Q在序列B中第一次出现时的下标模10086的值.

Sample Input

3
1 2 3
1

Sample Output

3
样例解释：
N = 3, A = [1 2 3]
S = {1, 2, 3}
2^S = {空, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
f(空) = 0
f({1}) = 1
f({2}) = 2
f({3}) = 3
f({1, 2}) = 1 xor 2 = 3
f({1, 3}) = 1 xor 3 = 2
f({2, 3}) = 2 xor 3 = 1
f({1, 2, 3}) = 0
所以
B = [0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3]

HINT

数据范围：

1 <= N <= 10,0000

其他所有输入均不超过10^9

失踪人口诈尸现场

题解

这题有个关键性质, 搞不出来很难做.

(其实样例有一定暗示...但是数据太小并不是很令人信服...)

这个性质就是: 若 $n$ 个数的异或线性基有 $k$ 个, 则在 $n$ 个数构成的集合的所有 $2^n$ 个子集的异或和中共有 $2^k$ 种值, 每种有 $2^{n-k}$ 个.

网上找了不少博客都没有证明...只是说"这个结论又强又好记记住就好了"...

稍微感性证明一下:

由于异或线性基中的 $k$ 个数线性无关(无法互相表出), 剩余 $n-k$ 个未被插入线性基中的数能表出的 $2^{n-k}$ 个值必定都能被线性基中的 $2^k$ 个数表出, 于是就可以构造出 $2^{n-k}$ 个不同的异或和为 $0$ 的子集.

而对于线性基的一个子集所表出的数 $x$, 我们可以用一个 $0$ 异或子集构造一个新的表示方法来表出 $x$.

设线性基的一个子集为 $B$, $0$ 异或子集为 $Z$, 则:

若 $B \cap Z = \varnothing$, 则集合 $S=B\cup Z$ 表出的值与 $B$ 表出的值相等.

若 $B \subset Z$, 则易得集合 $\complement_Z B$ 表出的值与 $B$ 表出的值相等.

若 $B \cap Z \neq \varnothing$ 且 $B \not \subset Z$, 则将 $B$ 分为两个集合 $P=\{x|x\in B , x \not \in Z\}$ 和 $Q=B\cap Z$, 则集合 $P\cup(\complement_Z Q)$ 表出的值与 $B$ 表出的值相等.

于是对于任意 $B$ 和 $Z$, 我们都可以构造一个不同的集合 $S$ 使其表出的值与 $B$ 表出的值相等, 又因为任意 $B$ 表出的值不同 (线性基嘛), 所以所有 $2^n$ 个子集共能表出 $2^k$ 个不同的值, 其中每个值 $2^{n-k}$ 个.

然后就结束辣~求出线性基, 然后求能表出的小于 $q$ 的值有多少个, 乘上 $2^{n-k}$ 再 $+1$ 就可以了.

代码实现

#include <bits/stdc++.h>

const int MOD=10086;
const int MAXN=1e5+10;

int n;
int k;
int pos[MAXN];
int base[MAXN];

int Pow(int,int,int);

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        int x;
        scanf("%d",&x);
        for(int p=30;p>=0;p--){
            if((1<<p)&x){
                if(base[p])
                    x^=base[p];
                else{
                    base[p]=x;
                    break;
                }
            }
        }
    }
    int x;
    scanf("%d",&x);
    for(int i=0;i<=30;i++){
        if(base[i]){
            pos[k]=i;
            base[k++]=base[i];
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<k;i++){
        if((1<<pos[i])&x){
            ans^=(1<<i);
        }
    }
    printf("%d\n",(ans%MOD*Pow(2,n-k,MOD)+1)%MOD);
    return 0;
}

int Pow(int a,int n,int p){
    int ans=1;
    while(n>0){
        if(n&1)
            ans=1ll*a*ans%p;
        a=1ll*a*a%p;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}