[BZOJ3994][SDOI2015]约数个数和

3994: [SDOI2015]约数个数和

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Description

 设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求  

 

 

Input

输入文件包含多组测试数据。

第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。

接下来的T行，每行两个整数N、M。

 

Output

 T行，每行一个整数，表示你所求的答案。

 

Sample Input

2
7 4
5 6

Sample Output

110
121

HINT

 1<=N, M<=50000

1<=T<=50000

 

图片好像挂了。。。那张图是$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m d\left(ij\right)$

如果没挂请忽视上面那排话

 

由对称性，不妨设$n\le m$

有一个结论$d\left(xy\right)=\sum_{i\mid x}\sum_{j\mid y}\left[gcd\left(i,j\right)=1\right]$

这个证明的话可以考虑每个质因数的贡献。。。意会一下

那么可以得到

$ans=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^m\sum_{i\mid x}\sum_{j\mid y}\left[gcd\left(i,j\right)=1\right]$

$=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\lfloor\frac{m}{j}\rfloor\left[gcd\left(i,j\right)=1\right]$

$=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\lfloor\frac{m}{j}\rfloor\sum_{d\mid i,d\mid j}\mu\left(d\right)$

$=\sum_{d=1}^n\mu\left(d\right)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\lfloor\frac{n}{id}\rfloor\lfloor\frac{m}{id}\rfloor$

$=\sum_{d=1}^n\mu\left(d\right)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}{i}\rfloor\lfloor\frac{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}{i}\rfloor$

$=\sum_{d=1}^n\mu\left(d\right)\left(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}{i}\rfloor\right)\left(\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\lfloor\frac{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}{i}\rfloor\right)$

令$g\left(n\right)=\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$

那么$ans=\sum_{d=1}^n\mu\left(d\right)g\left(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\right)g\left(\lfloor\frac{m}{d}\rfloor\right)$

而$g$可以通过枚举每个分子然后不停的往倍数上加$1$，然后扫一遍前缀和求出，我为了用Latex码数学公式现在已经头昏眼花神志不清，如果你觉得我已经开始胡言乱语了导致你没看懂那就看看代码吧

预处理时间复杂度为$O\left(nlnn\right)$

似乎神犇们都是$O\left(n\right)$预处理？？？我还是太菜了哎

每次询问的话分块求，总时间复杂度$O\left(T\sqrt{n}\right)$

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 50000 + 10;
bool mark[maxn] = {false};
int mu[maxn], g[maxn] = {0}, sum[maxn];
int pri[maxn], prn = 0;
void shai(){
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i < maxn; i++){
        if(!mark[i]){
            mu[i] = -1;
            pri[++prn] = i;
        }
        for(int j = 1; j <= prn && pri[j] * i < maxn; j++){
            mark[i * pri[j]] = true;
            if(i % pri[j] == 0){
                mu[i * pri[j]] = 0;
                break;
            }
            else mu[i * pri[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for(int i = 1; i < maxn; i++)
        for(int j = i; j < maxn; j += i)
            g[j]++;
    sum[0] = g[0] = 0;
    for(int i = 1; i < maxn; i++){
        sum[i] = mu[i] + sum[i - 1];
        g[i] += g[i - 1];
    }
}
int main(){
    shai();
    int T, n, m;
    ll ans;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%d %d", &n, &m);
        if(n > m) swap(n, m);
        ans = 0;
        for(int p, i = 1; i <= n; i = p + 1){
            p = min(n / (n / i), m / (m / i));
            ans += (ll) (sum[p] - sum[i - 1]) * g[n / p] * g[m / p];
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}