[BZOJ3505][Cqoi2014]数三角形
3505: [Cqoi2014]数三角形
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给定一个nxm的网格,请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。
注意三角形的三点不能共线。
Input
输入一行,包含两个空格分隔的正整数m和n。
Output
输出一个正整数,为所求三角形数量。
Sample Input
2 2
Sample Output
76
数据范围
1<=m,n<=1000
数据范围
1<=m,n<=1000
显然格点为$\left(n+1\right)*\left(m+1\right)$个
所以先$inc\left(n\right),inc\left(m\right)$
考虑算出选三个点总数再减去共线情况
总数$C_{n*m}^3$
横竖共线$nC_m^3+mC_n^3$
斜着的可以考虑枚举每两个点,然后计算两点连线上的格点
考虑对于$\left(0,0\right)-\left(x_0,y_0\right)$的一条线段上
所有点满足方程$y_0x-x_0y=0$,显然解有$gcd(x_0,y_0)+1$个
排除掉两个端点还有$gcd(x_0,y_0)-1$个
发现其实只要线段的$(dx,dy)$一样那么就是等价的而不用在意位置,所以乘一下就好了
#include <iostream> typedef long long ll; inline ll gcd(ll a, ll b){ ll t; if(a > b){ t = a; a = b; b = t; } while(a){ t = a; a = b % a; b = t; } return b; } ll n, m, ans; int main(){ std::cin >> n >> m; n++; m++; ans = n * m * (n * m - 1) * (n * m - 2) - n * m * (m - 1) * (m - 2) - m * n * (n - 1) * (n - 2); ans /= 6; ll t; for(ll i = 1; i < n; i++) for(ll j = 1; j < m; j++){ t = gcd(i, j); ans -= 2LL * (t - 1) * (n - i) * (m - j); } std::cout << ans << std::endl; return 0; }