BZOJ 2242: [SDOI2011]计算器

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Description

你被要求设计一个计算器完成以下三项任务：

1、给定y,z,p,计算Y^Z Mod P 的值；

2、给定y,z,p，计算满足xy≡ Z ( mod P )的最小非负整数；

3、给定y,z,p，计算满足Y^x ≡ Z ( mod P)的最小非负整数。

Input

 输入包含多组数据。

第一行包含两个正整数T,K分别表示数据组数和询问类型（对于一个测试点内的所有数据，询问类型相同）。

以下行每行包含三个正整数y,z,p，描述一个询问。

Output

对于每个询问，输出一行答案。对于询问类型2和3，如果不存在满足条件的，则输出“Orz, I cannot find x!”，注意逗号与“I”之间有一个空格。

Sample Input

【样例输入1】
3 1
2 1 3
2 2 3
2 3 3
【样例输入2】
3 2
2 1 3
2 2 3
2 3 3
【数据规模和约定】
对于100%的数据，1<=y,z,p<=10^9，为质数，1<=T<=10。

Sample Output

【样例输出1】
2
1
2
【样例输出2】
2
1
0

HINT

 

Source

第一轮day1

 

第一问快速幂

第二问exgcd

第三问BSGS，好麻烦我就先略

为啥叫baby step giant step，我其实不是很懂

求\(y^x = z(mod~p)\)设\(x=km+i\)\[y^{km}*y^i\equiv z\]\(y^i\equiv z*ine(y^{km})\)(逆元)

用费马小定理显然可得\(ine(y^m)\equiv y^{p-1-m}\)设其为T

\[ine(y^{km})\equiv ine(y^{(k-1)m})*T\]

把\[y^i(0<=i<=m)\]放入hash或者map

然后枚举k，查询\[z*ine(y^{km})\]

显然m取\(\sqrt p\)复杂度比较优秀。。

解释部分转自黄学长

屠龙宝刀点击就送

#include <ctype.h>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long LL;
map<LL,int>q;
void read(int &x)
{
    x=0;bool f=0;
    register char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=1;
    for(; isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    x=f?(~x)+1:x;
}
inline LL ksm(int a,int b,int c)
{
    LL base=a,r=1%c;
    while(b)
    {
        if(b&1) r=(r*base)%c;
        base=(base*base)%c;
        b>>=1;
    }
    return r;
}
int gcd(int a,int b) {return a%b==0?b:gcd(b,a%b);}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-(a/b)*y;
}
int T,L;
int main()
{
    read(T);
    read(L);
    for(int y,z,p;T--;)
    {
        read(y);
        read(z);
        read(p);
        switch(L)
        {
            case 1:
            {
                printf("%d\n",ksm(y,z,p));
                break;
            }
            case 2:
            {
                int m,n;
                p=-p;
                int k=gcd(y,p);
                if(z%k) 
                    printf("Orz, I cannot find x!\n");
                else
                {
                    y/=k;z/=k;p/=k;
                    exgcd(y,p,m,n);
                    m=(LL)m*z%p;
                    for(;m<0;m+=p);
                    printf("%d\n",m);
                }
                break;
            }
            case 3:
            {
                if(y%p==0&&z==0) printf("1\n");
                else if(y%p==0) printf("Orz, I cannot find x!\n");
                else 
                {
                    q.clear();
                    bool flag=false;
                    LL t=1,m=ceil(sqrt(p));
                    q[1]=m+1;
                    for(LL i=1;i<m;i++)
                    {
                        t=t*y%p;
                        if(!q[t]) q[t]=i;
                    }
                    t=ksm(y,p-m-1,p);LL in=1;
                    for(LL k=0;k<m;k++)
                    {
                        int ans=z*in%p;
                        if(q[ans])
                        {
                            int v=q[ans];
                            if(v==m+1) v=0;
                            printf("%lld\n",k*m+v);
                            flag=true;
                            break;
                        }
                        in=in*t%p;
                    }
                    if(!flag) printf("Orz, I cannot find x!\n");
                }
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}