洛谷 P1082 同余方程
题目描述
求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。
输入输出格式
输入格式:
输入只有一行,包含两个正整数 a, b,用一个空格隔开。
输出格式:
输出只有一行,包含一个正整数 x0,即最小正整数解。输入数据保证一定有解。
输入样例#1:
3 10
输出样例#1:
7
说明
【数据范围】
对于 40%的数据,2 ≤b≤ 1,000;
对于 60%的数据,2 ≤b≤ 50,000,000;
对于 100%的数据,2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。
NOIP 2012 提高组 第二天 第一题
1.exgcd
#include<cstdio> int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } int ans=exgcd(b,a%b,x,y); int temp=x; x=y; y=temp-(a/b)*y; return ans; } int main() { int a,b,x,y; scanf("%d%d",&a,&b); int k=exgcd(a,b,x,y); while(x<=0) x+=b/k; printf("%d",x); return 0; }
2.欧拉定理
定理 2.1 (欧拉定理)
a
φ(p) ≡ 1(mod p)
对于任意互质的 a,p 恒成⽴.
欧拉定理⽤来求逆元⽤的是欧拉定理的⼀个推论:
a × a
φ(p)−1 ≡ 1(mod p)
然后⽤快速幂就可以求乘法逆元了
#include <ctype.h> #include <cstdio> void read(int &x) { x=0;bool f=0; register char ch=getchar(); for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=1; for(; isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0'; x=f?(~x)+1:x; } int a,b; int getphi(int x) { int ans=x; if(x%2==0) { while(x%2==0) x/=2; ans/=2; } for(int i=3;i*i<=x;i+=2) { if(x%i==0) { while(x%i==0) x/=i; ans=ans/i*(i-1); } } if(x>1) ans=ans/x*(x-1); return ans; } long long ksm(int m,long long n,int mod) { long long r=1,base=m; for(;n;n>>=1) { if(n&1) r=(r*base)%mod; base=(base*base)%mod; } return r; } int main() { // freopen("mod.in","r",stdin); // freopen("mod.out","w",stdout); read(a);read(b); long long m=getphi(b)-1,ans;ans=ksm(a,m,b); while(ans<=0) ans+=b; printf("%d\n",ans); return 0; }
我们都在命运之湖上荡舟划桨,波浪起伏着而我们无法逃脱孤航。但是假使我们迷失了方向,波浪将指引我们穿越另一天的曙光。