[剑指offer] 31. 整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

题目描述

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

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思路：

解法一：

穷举

 

class Solution
{
  public:
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
    {
        int count = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int cur = i;
            while (cur > 0)
            {
                int temp = cur % 10;
                cur /= 10;
                if (temp == 1)
                    count++;
            }
        }
        return count;
    }
};

解法二：

参考别人的题解，不仅是1出现的次数

 

编程之美上给出的规律：

1. 如果第i位（自右至左，从1开始标号）上的数字为0，则第i位可能出现1的次数由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于更高位数字X当前位数的权重10^i-1。

2. 如果第i位上的数字为1，则第i位上可能出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响（若没有低位，视低位为0），等于更高位数字X当前位数的权重10^i-1+（低位数字+1）。

3. 如果第i位上的数字大于1，则第i位上可能出现1的次数仅由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于（更高位数字+1）X当前位数的权重10^i-1。

二、X的数目

这里的  X∈[1,9] ，因为  X=0  不符合下列规律，需要单独计算。

首先要知道以下的规律：

• 从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次。
• 从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 X 都出现了 10 次。
• 从 1 至 1000，在它们的百位数中，任意的 X 都出现了 100 次。

依此类推，从 1 至  10 ⁱ ，在它们的左数第二位（右数第  i  位）中，任意的 X 都出现了  10 ⁱ⁻¹  次。

这个规律很容易验证，这里不再多做说明。

接下来以  n=2593,X=5  为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位，260 次出现在十位，294 次出现在百位，0 次出现在千位。

现在依次分析这些数据，首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，因为它们最大的个位数字 3 < X，因此不会包含任何 5。（也可以这么看，3<X，则个位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（259）X10^1-1=259）。

然后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，因此任意的 X 都出现了  25×10=250  次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。（也可以这么看，9>X，则十位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（25+1）X10^2-1=260）。

接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，因此任意的 X 都出现了  2×100=200  次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。（也可以这么看，5==X，则百位上可能出现X的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，等于更高位数字（2）X10^3-1+（93+1）=294）。

最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X，所以不会包含任何 5。（也可以这么看，2<X，则千位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（0）X10^4-1=0）。

到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。

class Solution
{
    /*
        当计算右数第  i  位包含的 X 的个数时：
        取第  i  位左边（高位）的数字，乘以  10^(i?1) ，得到基础值  a 。
        取第  i  位数字，计算修正值：
        如果大于 X，则结果为  a+ 10^(i?1) 。
        如果小于 X，则结果为  a 。
        如果等 X，则取第  i  位右边（低位）数字，设为  b ，最后结果为  a+b+1 。
    */
  public:
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n, int x)
    {
        int count = 0;
        if (n < 0 || x < 1 || x > 9)
            return count;
        int high, low, curr, tmp, i = 1;
        high = n;

        while (high != 0)
        {
            high = n / (int)pow(10, i); // 获取第i位的高位
            tmp = n % (int)pow(10, i);
            curr = tmp / (int)pow(10, i - 1); // 获取第i位
            low = tmp % (int)pow(10, i - 1);  //获取第i位的低位
            int base = high * (int)pow(10, i - 1);
            if (curr == x)
                count += base + low + 1;
            else if (curr < x)
                count += base;
            else if (curr > x)
                count += base + (int)pow(10, i - 1);
            ++i;
        }

        return count;
    }
};