匈牙利算法求二分图的最大匹配
匈牙利算法求二分图的最大匹配
最大匹配: 图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。
二分图的最大匹配有两种求法,第一种是最大流;第二种就是匈牙利算法。
最大流算法的核心问题就是找增广路径(augment path)。匈牙利算法也不例外,它的基本模式就是:
初始时最大匹配为空
while 找得到增广路径
do 把增广路径加入到最大匹配中去
可见和最大流算法是一样的。但是这里的增广路径就有它一定的特殊性,下面我来分析一下。
(注:匈牙利算法虽然根本上是最大流算法,但是它不需要建网络模型,所以图中不再需要源点和汇点,仅仅是一个二分图。每条边也不需要有方向。)
图1是给出的二分图中的一个匹配:[1,5]和[2,6]。图2就是在这个匹配的基础上找到的一条增广路径:3->6->2->5->1->4。
图 1
图 2
我们借由它来描述一下二分图中的增广路径的性质:
(1)有奇数条边。
(2)起点在二分图的左半边,终点在右半边。
(3)路径上的点一定是一个在左半边,一个在右半边,交替出现。(其实二分图的性质就决定了这一点,因为二分图同一边的点之间没有边相连)
(4)整条路径上没有重复的点。
(5)起点和终点都是目前还没有配对的点,而其它所有点都是已经配好对的。(如图1、图2所示,[1,5]和[2,6]在图1中是两对已经配好对的点;而起点3和终点4目前还没有与其它点配对。)
(6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中,所有第偶数条边都出现在原匹配中。(如图1、图2所示,原有的匹配是[1,5]和[2,6],这两条配匹的边在图2给出的增广路径中分边是第2和第4条边。而增广路径的第1、3、5条边都没有出现在图1给出的匹配中。)
(7)最后,也是最重要的一条,把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去,并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除(这个操作称为增广路径的取反),则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。(如图2所示,新的匹配就是所有蓝色的边,而所有红色的边则从原匹配中删除。则新的匹配数为3。)
不难想通,在最初始时,还没有任何匹配时,图1中的两条灰色的边本身也是增广路径。因此在这张二分图中寻找最大配匹的过程可能如下:
(1)找到增广路径1->5,把它取反,则匹配数增加到1。
(2)找到增广路径2->6,把它取反,则匹配数增加到2。
(3)找到增广路径3->6->2->5->1->4,把它取反,则匹配数增加到3。
(4)再也找不到增广路径,结束。
当然,这只是一种可能的流程。也可能有别的找增广路径的顺序,或者找到不同的增广路径,最终的匹配方案也可能不一样。但是最大匹配数一定都是相同的。
匈牙利算法就形成过程如下:
初始时最大匹配为空
for 二分图左半边的每个点i
do 从点i出发寻找增广路径。如果找到,则把它取反(即增加了总了匹配数)。
如果二分图的左半边一共有n个点,那么最多找n条增广路径。如果图中共有m条边,那么每找一条增广路径(DFS或BFS)时最多把所有边遍历一遍,所花时间也就是m。所以总的时间大概就是O(n * m)。
二分图最大匹配问题的匈牙利算法:
#define N 202
int useif[N]; //记录y中节点是否使用
int link[N]; //记录当前与y节点相连的x的节点
int mat[N][N]; //记录连接x和y的边,如果i和j之间有边则为1,否则为0
int gn,gm; //二分图中x和y中点的数目
int can(int t)
{
int i;
for(i=1;i<=gm;i++)
{
if(useif[i]==0 && mat[t][i])
{
useif[i]=1;
if(link[i]==-1 || can(link[i]))
{
link[i]=t;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int MaxMatch()
{
int i,num;
num=0;
memset(link,0xff,sizeof(link));
for(i=1;i<=gn;i++)
{
memset(useif,0,sizeof(useif));
if(can(i)) num++;
}
return num;
}
来自:http://imlazy.ycool.com/post.1603708.html
http://old.blog.edu.cn/user3/Hailer/archives/2007/1829623.shtml