重链剖分(维护树上信息)复习笔记

本文将介绍重链剖分算法。

问题的引入

看下面一道题：

有一棵根为 $1$ 的树，点上有点权，进行如下操作：

1. 将以 $x$ 为根的子树内所有节点的点权增加 $k$。
2. 求以 $x$ 为根的子树内所有节点的点权之和。

节点数 $1\le n\le 10^5$，询问数 $1\le m\le 10^5$。

显然，本题可以简单地使用 dfs 序线段树，将树上问题转化为数列上问题。

那么如果添加两个新的操作呢？

3. 将 $x$ 到 $y$ 的简单路径上所有节点的点权增加 $k$。
4. 求 $x$ 到 $y$ 的简单路径上所有节点的点权之和。

以上问题便是 洛谷 P3384 轻重链剖分。

此时 dfs 序线段树便无法解决了，需要引入一个新的算法，也就是重链剖分。

重链剖分

概念和定义

以下是重链剖分中的一些定义：

• 重儿子：对于一个非叶子节点，它的儿子中子树最大的那个节点称为它的重儿子。
• 轻儿子：对于一个非叶子节点，它的所有儿子中不是重儿子的都称为它的轻儿子。
• 重边：一个非叶子节点与它的重儿子相连的边称为重边。
• 重链：由一系列重边相连组成的链称为重链。
• 轻链：由一系列非重边相连组成的链称为轻链。

根据以上定义，显然有：

• 叶子节点没有重儿子或轻儿子（因为它没有儿子）。
• 每一条重链的起点是轻儿子。
• 所有重链互不相交，每个点只属于一条重链。
• 重链长度之和为 $O(n)$（因为每个点只属于一条重链）。
• 一个点到根节点经过的轻边条数最多为 $O(\log n)$。

我们定义的数组如下：

• $dis_u$：$u$ 的深度。
• $fa_u$：$u$ 的父亲。
• $sz_u$：$u$ 的子树大小。
• $son_u$：$u$ 的重儿子编号。
• $top_u$：$u$ 所在重链的顶端。
• $dfn_u$：$u$ 的 dfs 序（注意这里的 dfs 序与普通的不同，将在 dfs2 进行讲解。）

dfs1

在第一次 dfs 中，我们需要处理出每个节点的 $dis,fa,sz,son$。

伪代码：

$$\begin{array}{ll} 1 & \textbf{Method}\ \text{dfs1(u,f).}\\ 2 & \textbf{let}\ dis_u\gets dis_f+1\\ 3 & \textbf{let}\ fa_u\gets f\\ 4 & \textbf{let}\ sz_u\gets 1\\ 5 & \textbf{for}\ v\in\{\text{son of}\ u\}\\ 6 & \qquad\text{dfs1(v,u)}\\ 7 & \qquad\textbf{if}\ sz_v\gt sz_{son_u}\\ 8 & \qquad\qquad\textbf{let}\ son_u\gets v \end{array}$$

dfs2

在第二次 dfs 中，我们需要处理出每个节点的 $top,dfn$，要先 dfs2 处理重儿子再处理轻儿子。

伪代码：

$$\begin{array}{ll} 1 & \textbf{Method}\ \text{dfs2(u,tp).}\\ 2 & \textbf{let}\ top_u\gets tp\\ 3 & \textbf{let}\ tot\gets tot+1\\ 4 & \textbf{let}\ dfn_u\gets tot\\ 5 & \textbf{if}\ u\ \text{is leaf}\\ 6 & \qquad\textbf{return}\\ 7 & \text{dfs2(}son_u\text{,tp)}\\ 8 & \textbf{for}\ v\in\{\text{son of}\ u\land v\ne son_u\}\\ 9 & \qquad\text{dfs2(v,v)} \end{array}$$

数据处理

我们可以在 dfs2 中处理出在 dfn 意义下每个点的权值，然后使用线段树维护即可。

对于链上操作，我们每次找到深度较深的点，因为 dfs2 中先处理重链后处理轻链，所以重链的 dfn 是连续的，直接将这个点到重链顶端的区间进行操作，然后将这个点跳到重链顶端的父亲。

一直重复如上操作，直到两个点在同一条重链，此时两个点之间的 dfn 也是连续的，再进行一次区间操作即可。

伪代码：

$$\begin{array}{ll} 1 & \textbf{Method}\ \text{modify(u,v).}\\ 2 & \textbf{while}\ top_u\ne top_v\\ 3 & \qquad\textbf{if}\ dis_u\lt dis_v\\ 4 & \qquad\qquad\textbf{swap}\ u,v\\ 5 & \qquad\text{SegmentTreeModify(}[dfn_{top_u},dfn_u]\text{)}\\ 6 & \qquad\textbf{let}\ u\gets fa_{top_u}\\ 7 & \textbf{if}\ dis_u\lt dis_v\\ 8 & \qquad\textbf{swap}\ u,v\\ 9 & \text{SegmentTreeModify(}[dfn_v,dfn_u]\text{)} \end{array}$$

本题完结撒花！

一些习题

• 洛谷 P3384 轻重链剖分
• 洛谷 P2146 [NOI2015]软件包管理器
• 洛谷 P2486 [SDOI2011]染色
• 洛谷 P3979 遥远的国度