题解 SP25844 / CF276D【MAXXOR - Find the max XOR value / Little Girl and Maximum XOR】

以下用 $\oplus$ 表示异或运算。

先说结论：设 $x=L\oplus R$，则答案为最小的 $2^k-1$ 使得 $2^k-1\ge x$ 即 $2^k > x$。

（一）答案不可能超过 $2^k-1$。

为了让异或后最高位尽量高，我们先取一个最高位最高的数，也就是 $R$，然后再取一个数使得该位尽量为 $0$。

如果 $L$ 的该位为 $0$，符合条件，此时答案最高位与 $x$ 都相同，而 $2^k-1$ 是最高位相同的最大的数，所以答案一定不超过 $2^k-1$。如果 $L$ 的该位为 $1$，则该位异或出来为 $0$，不考虑这一位，去找后面的位也是同理。极端情况是 $L=R$，此时 $x=0$，$2^k-1=0$ 也是没有问题的。

（二）答案可以取到 $2^k-1$。

我们称在二进制下表示 $0$ 或 $2^i$ 的数位为“第 $i$ 位”。

因为 $x=L\oplus R$ 在第 $k-1$ 位为 $1$，说明 $L\sim R$ 之间有一个位置的第 $k-1$ 位发生了变化。而 $L\sim R$ 是连续变化的，每次加一，也就是说必然有一个位置从 $\underbrace{11\cdots 1}_{k-1\ \text{个}}$ 变成了 $1\underbrace{00\cdots 0}_{k-1\ \text{个}}$，显然这两个数的异或为 $2^k-1$。

综上，结论正确。

//By: Luogu@rui_er(122461)
#include <bits/stdc++.h>
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
#define per(x,y,z) for(int x=y;x>=z;x--)
#define debug printf("Running %s on line %d...\n",__FUNCTION__,__LINE__)
#define fileIO(s) do{freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout);}while(false)
using namespace std;
typedef long long ll;

template<typename T> void chkmin(T& x, T y) {if(x > y) x = y;}
template<typename T> void chkmax(T& x, T y) {if(x < y) x = y;}

int main() {
	int L, R;
	scanf("%d%d", &L, &R);
	R ^= L;
	for(int i=0;;i++) {
		if((1 << i) > R) {
			printf("%d\n", (1 << i) - 1);
			break;
		}
	} 
	return 0;
}

顺带一提，因为数据水，第 $18$ 行的大于号打成大于等于也可以通过，但显然不对，例如 $L=2,R=3$。