meet-in-the-middle

一个优化暴力的知名小 trick，早就知道，记一下。

没啥好的题，手搓一道吧：

给定一个 $n\times n$ 矩阵，第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $a_{i,j}$，求是否存在一条左上到右下的路径（只能向右走或向下走），使得元素和是 $p$ 的倍数？

$n\le 18$，$p\le 10^9$。

总共需要走 $34$ 步，路径总数不超过 $2^{34}=17179869184$。或者更确切地，为 $\binom{34}{17}=2333606220$，我们无法枚举（因为复杂度还会乘 $\mathcal O(n)$）。

我们想到，如果能只走 $17$ 步的话就好了。

于是我们发现确实可以做到。副对角线是矩阵的一个天然分界线，从左上角走到副对角线的路径总数为 $2^{17}=131072$ 种，从右下角也一样。我们处理出左上路径 $131072$ 种可能的元素和并插到 set 中，然后枚举右下路径的可能情况，找找 set 中是否存在 $p-x$ 即可。

于是时间复杂度被我们从 $\mathcal O(2^{2n}n)$ 优化到了 $\mathcal O(2^nn)$。

这就是 meet-in-the-middle 的 trick，这类题目的显著特征是数据范围在 $30\sim 40$ 之间（例如本题中的数据范围实际是 $2n=36$），此时 $\mathcal O(2^{n+o(1)})$ 的暴力无法通过，希望将复杂度开平方。此时我们将问题分为两个规模为 $\frac{n}{2}$ 的小问题，并且试图在能接受的复杂度内合并两个小问题的答案。

双向 bfs 其实也是利用了这个 trick。