矩阵、高斯消元、行列式及相关结论学习笔记（没写完）

矩阵、高斯消元、行列式及相关结论学习笔记

矩阵的概念

矩阵可以简单理解为二维数组。在 OI 中，矩阵的元素一般为整数或实数。

矩阵 $\boldsymbol A$ 的第 $i$ 行、第 $j$ 列元素记作 $a_{ij}$。

仅有一行的矩阵称为行向量，只有一列的矩阵称为列向量。

矩阵左上到右下的对角线称为主对角线，右上到左下的对角线称为副对角线。

矩阵的运算

矩阵加法

矩阵加法就是对应位置相加。只有同型矩阵才能进行加法运算。

例如：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+3 & 2+0 & 1+1 \\ 0+1 & 3+1 & 2+0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 1 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$$

矩阵加法满足：

• 结合律：$(\boldsymbol A+\boldsymbol B)+\boldsymbol C=\boldsymbol A+(\boldsymbol B+\boldsymbol C)$。
• 交换律：$\boldsymbol A+\boldsymbol B=\boldsymbol B+\boldsymbol A$。

矩阵减法

矩阵减法就是对应位置相减。只有同型矩阵才能进行减法运算。

矩阵数乘

矩阵数乘就是每个位置相乘。

例如：

$$2 \cdot \begin{bmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\cdot 2 & 2\cdot 0 & 2\cdot 3 \\ 2\cdot 1 & 2\cdot 2 & 2\cdot 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 6 \\ 2 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$$

矩阵数乘满足：

• $\lambda(\mu\boldsymbol A)=\mu(\lambda\boldsymbol A)=(\lambda\mu)\boldsymbol A$。
• $(\lambda+\mu)\boldsymbol A=\lambda\boldsymbol A+\mu\boldsymbol A$。
• $\lambda(\boldsymbol A+\boldsymbol B)=\lambda\boldsymbol A+\lambda\boldsymbol B$。

矩阵乘法

矩阵乘法有意义当且仅当第一个矩阵 $\boldsymbol A$ 的列数与第二个矩阵 $\boldsymbol B$ 的行数相等。设 $\boldsymbol A,\boldsymbol B$ 的大小分别为 $n\times m,m\times k$，则 $\boldsymbol C=\boldsymbol A\boldsymbol B$ 的大小为 $n\times k$。其中：

$$c_{ij}=\sum\limits_{r=1}^ma_{ir}b_{rj}$$

例如：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot 3+0\cdot 2+2\cdot 1 & 1\cdot 1+0\cdot 1+2\cdot 0 \\ -1\cdot 3+3\cdot 2+1\cdot 1 & -1\cdot 1+3\cdot 1+1\cdot 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$$

矩阵乘法满足：

• 结合律：$(\boldsymbol A\boldsymbol B)\boldsymbol C=\boldsymbol A(\boldsymbol B\boldsymbol C)$。
• 对加法的左分配律：$(\boldsymbol A+\boldsymbol B)\boldsymbol C=\boldsymbol A\boldsymbol C+\boldsymbol B\boldsymbol C$。
• 对加法的右分配律：$\boldsymbol C(\boldsymbol A+\boldsymbol B)=\boldsymbol C\boldsymbol A+\boldsymbol C\boldsymbol B$。

矩阵乘法不满足交换律。

行数、列数相同的矩阵有单位矩阵，其中 $e_{ij}=[i=j]$。例如，大小为 $3\times 3$ 的单位矩阵如下：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

单位矩阵 $\boldsymbol E$ 满足：

• $\boldsymbol E\boldsymbol A=\boldsymbol A\boldsymbol E=\boldsymbol A$。

矩阵的幂

矩阵的幂有意义当且仅当行数、列数相同。

矩阵 $\boldsymbol A$ 的 $k$ 次幂 $\boldsymbol A^k$ 等于 $\boldsymbol A$ 自乘 $k$ 次的结果。

显然，矩阵的幂可以使用快速幂加速。

矩阵转置

将矩阵 $\boldsymbol A$ 的行和列交换得到转置矩阵 $\boldsymbol A^T$。

例如：

$$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

矩阵转置满足：

• $(\boldsymbol A^T)^T=\boldsymbol A$。
• $(\lambda\boldsymbol A)^T=\lambda\boldsymbol A^T$。
• $(\boldsymbol A\boldsymbol B)^T=\boldsymbol B^T\boldsymbol A^T$。

高斯-约当消元法（Gauss-Jordan Elimination）

简介

高斯消元法是用于求解线性方程组的经典算法。

初等行变换

矩阵的初等行变换包括：

• 交换矩阵的两行。
• 以一个非零数 $k$ 乘矩阵的某一行。
• 将矩阵的某一行的 $k$ 倍加到另一行。

同理可以定义初等列变换。

增广矩阵

对于线性方程组：

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\cdots+a_{3n}x_n=b_3\\ \vdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\\ \end{cases}$$

定义它的增广矩阵为：

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} & b_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} & b_n \\ \end{bmatrix}$$

高斯消元

容易发现，对增广矩阵进行初等行变换不会改变方程组的解。

我们的目标就是利用初等行变换将增广矩阵变为如下形式：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x_1 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & x_2 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & x_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x_n \\ \end{bmatrix}$$

则最右侧的一列就是方程组的解。如果无法变为该形式，则方程无解或无唯一解，可以进一步进行判定。

高斯消元的流程是：

• 初始时令 $i=1$。
• 在第 $i\sim n$ 行找出一行，使得第 $i$ 列不为 $0$，并将该行与第 $i$ 行交换（为减小浮点数运算导致的精度误差，通常选取绝对值最大的数那一行）。
• 将该行的若干倍加到每一行，使得其余行的第 $i$ 列均为 $0$。
• 若 $i < n$，令 $i$ 自增一，回到第二步；否则，进行下一步。
• 对于每一行 $i$ 计算得 $x_i=\frac{b_i}{a_{ii}}$。

时间复杂度为 $\mathcal O(n^3)$。

代码

const double eps = 1e-6;
bool gauss() {
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int u = i;
		for(int j = i + 1; j <= n; j++) if(fabs(a[j][i]) > fabs(a[u][i])) u = j;
		swap(a[i], a[u]);
		if(fabs(a[i][i]) < eps) return 0; // 无解或无唯一解
		for(int j = 1; j <= n; j++) {
			if(i != j) {
				double mt = a[j][i] / a[i][i];
				for(int k = 1; k <= n + 1; k++) a[j][k] -= mt * a[i][k];
			}
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) a[i][n+1] /= a[i][i];
	return 1; 
}

矩阵求逆

$n\times n$ 的矩阵 $\boldsymbol A$ 的乘法逆元存在，当且仅当该矩阵的秩为 $n$。

矩阵 $\boldsymbol A$ 的秩 $\operatorname{rk}\boldsymbol A$ 是它的线性无关的行数。

类似于高斯消元的增广矩阵，矩阵求逆只需要在原矩阵 $\boldsymbol A$ 右侧加上一个 $n\times n$ 的单位阵 $\boldsymbol I$，然后进行初等行变换将左侧消成单位阵 $\boldsymbol I$，此时右侧的矩阵即为 $\boldsymbol A^{-1}$。

代码

//By: Luogu@rui_er(122461)
#include <bits/stdc++.h>
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
#define per(x,y,z) for(int x=y;x>=z;x--)
#define debug printf("Running %s on line %d...\n",__FUNCTION__,__LINE__)
#define fileIO(s) do{freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout);}while(false)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 805, mod = 1e9+7;

int n, a[N][N];
template<typename T> void chkmin(T& x, T y) {if(x > y) x = y;}
template<typename T> void chkmax(T& x, T y) {if(x < y) x = y;}
int qpow(int x, int y) {
	int ans = 1;
	for(;y;y>>=1,x=1LL*x*x%mod) if(y & 1) ans = 1LL * ans * x % mod;
	return ans;
}
int inv(int x) {return qpow(x, mod-2);}
bool gauss() {
	rep(i, 1, n) {
		int u = i;
		rep(j, i+1, n) if(a[j][i]) u = j;
		swap(a[i], a[u]);
		if(!a[i][i]) return 0;
		rep(j, 1, n) {
			if(i == j) continue;
			int mt = (-1LL * a[j][i] * inv(a[i][i]) % mod + mod) % mod;
			rep(k, i, 2*n) a[j][k] = (a[j][k] + 1LL * mt * a[i][k] % mod) % mod;
		}
	}
	rep(i, 1, n) {
		rep(j, n+1, 2*n) {
			a[i][j] = 1LL * a[i][j] * inv(a[i][i]) % mod;
		}
	}
	return 1;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	rep(i, 1, n) rep(j, 1, n) scanf("%d", &a[i][j]);
	rep(i, 1, n) rep(j, n+1, 2*n) a[i][j] = (i + n == j);
	if(gauss()) {
		rep(i, 1, n) {
			rep(j, n+1, 2*n) {
				printf("%d%c", a[i][j], " \n"[j==2*n]);
			}
		}
	}
	else puts("No Solution");
    return 0;
}

咕咕咕