趣题记录（被鸽了）
趣题记录
为啥是趣题记录？
之前试过很多次按时间顺序编年体的做题记录，但是都因为在机房做题不方便更新、有些题没有什么意义等原因导致越攒越多，最后就咕掉了，因此决定试一试只记录有趣的题。
记录
CF55C Pie or die (CF \(\color{#aa00aa}{1900}\))
\(n\times m\) 棋盘上有 \(k\) 个棋子，每回合 Alice 选择一个棋子并移到相邻的格子（四连通）或者移出棋盘（如果在边界），然后 Bob 在棋盘上（包括边界）添加一个挡板。如果 Alice 可以将至少一个棋子移出棋盘则获胜，请求出能否获胜。
\(1\le n,m,k\le 100\)。
题解
Alice 向棋盘一边移动一枚棋子，可能从两个角落移出，因此 Bob 会填补两个角落的四个出口，直到棋子到达边界。到达边界后，Bob 填补对应的出口，Alice 沿着边界移动，如果有一个出口未被填补则可以获胜。
容易发现 Bob 需要多执行四次操作，因此 Alice 获胜的充要条件为：至少存在一枚棋子，到达边界的距离不超过 \(4\)。
CF1060C Maximum Subrectangle (CF \(\color{#0000ff}{1600}\))
给定 \(a_{1,2,\cdots,n}\)、\(b_{1,2,\cdots,m}\) 和 \(x\)，定义 \(c_{i,j}=a_ib_j\)，求 \(c\) 的最大子矩形面积，使得其中元素和不超过 \(x\)。
\(1\le n,m,a_i,b_i\le 2\times 10^3\)，\(1\le x\le 2\times 10^9\)。
题解
由乘法对加法的分配律知 \(\sum\limits_{i=l_1}^{r_1}\sum\limits_{j=l_2}^{r_2}a_ib_j=\left(\sum\limits_{i=l_1}^{r_1}a_i\right)\left(\sum\limits_{j=l_2}^{r_2}b_j\right)\)，前缀和维护之。
P8511 [Ynoi Easy Round 2021] TEST_68
给定一棵 \(n\) 个节点的有根树，根节点为 \(1\)，第 \(i\) 个点有点权 \(a_i\)。对于每个 \(x\in[1,n]\)，求出在以 \(x\) 为根的子树外选两个点 \(u,v\) 的 \(a_u\oplus a_v\) 的最大值。
\(1\le n\le 5\times 10^5\)，\(0\le a_i\le 10^{18}\)。
题解
在全局求出最大异或和，设为 \(k=a_u\oplus a_v\)，则所有不在 \(u,v\) 子树内的点的答案均为 \(k\)。因此我们只需要统计 \(1\) 到 \(u,v\) 的两条链上节点的答案。
从链顶向链底搜，求出当前节点答案后，将当前节点以及当前节点的不在链上的儿子的子树插入 01-Trie 树中，动态维护最大异或和以及产生最大异或和的一对节点即可。
CF1707E Replace (CF \(\color{#000000}{3}\color{#ff0000}{500}\))
给定一个长度和值域均为 \(n\) 的数列 \(a\)，定义 \(f((l,r))=(\min\limits_{i=l}^ra_i,\max\limits_{i=l}^ra_i)\)。共 \(q\) 次询问，每次给定 \((l,r)\)，求至少用 \(f\) 迭代多少次使其变为 \((1,n)\)，或判定无解。
\(1\le n,q\le 10^5\)。
题解
神题。
想到倍增，但是 \(\Theta(n^2)\) 个区间显然没法记录。
\(f\) 函数有个很好的性质：若区间 \(I_1\cap I_2\ne\varnothing\)，则 \(f(I_1\cup I_2)=f(I_1)\cup f(I_2)\)。感觉整道 *3500 题的难点就在这里。
如果想到这一性质，就可以通过类似 ST 表的方法，只记录长度 \(2^k\) 的区间的倍增数组然后合并即可。
CF468C Hack it! (CF \(\color{#ff0000}{2500}\))
定义 \(f(x)\) 为 \(x\) 的各数位之和，给定 \(a\)，构造一组 \((l,r)\) 使得 \(\sum\limits_{i=l}^rf(i)\equiv 0\pmod{a}\)。
\(1\le a\le 10^{18}\)，要求 \(1\le l\le r\le 10^{200}\)。
题解
神题。
注意到 \(f(10^{18}+x)=f(x)+1\)。
设 \(\sum\limits_{i=0}^{10^{18}-1}f(i)\equiv p\pmod{a}\)，注意到 \(\sum\limits_{i=k}^{10^{18}-1+k}f(i)\equiv p+k\pmod{a}\)，则 \(k=a-p\) 时有 \(p+k\equiv 0\pmod{a}\)，\((l,r)=(a-p,10^{18}-1+a-p)\) 符合题意，只需求 \(p\)。
注意到 \(p=81\times 10^{18}\bmod a\)。
你问我怎么注意到？我也不知道，太神仙了。
CF1746E1 Joking (Easy Version) (CF \(\color{#ff0000}{2500}\))
交互题。
给定 \(n\)，请猜测一个未知的整数 \(x\in[1,n]\)。
你可以进行至多 \(82\) 次如下询问：
- 任选一个整数集合 \(S\subset[1,n]\)，询问 \(x\in S\) 是否成立。
- 交互库会说谎话，但保证相邻两次回答至少有一次是真的。
你还可以进行至多 \(2\) 次如下猜测：
- 任选一个整数 \(y\in[1,n]\)，询问 \(x=y\) 是否成立。
- 交互库只说真话，当回复为成立时视为通过。
\(1\le n\le 10^5\)。
题解
设 \(n\) 表示当前时刻候选的整数个数。
当 \(n\ge 4\) 时，不断执行下列操作直到 \(n < 4\)：（有点四分查找的意思）
- 将候选整数平均分为 \(A,B,C,D\) 四个集合。
- 询问 \(A\cup B\)，设回复为 \(p\)。
- 询问 \(B\cup C\)，设回复为 \(q\)。
- 若 \(p\land q\)，则 \(x\in A\cup B\cup C\)，排除集合 \(D\)。
- 若 \(p\land\neg q\)，则 \(x\in A\cup B\cup D\)，排除集合 \(C\)。
- 若 \(\neg p\land q\)，则 \(x\in B\cup C\cup D\)，排除集合 \(A\)。
- 若 \(\neg p\land\neg q\)，则 \(x\in A\cup C\cup D\)，排除集合 \(B\)。
当 \(n=3\) 时，执行下列操作：
- 设候选整数为 \(a,b,c\)。
- 询问 \(\{a\}\)，设回复为 \(p\)。
- 询问 \(\{a,b\}\)，设回复为 \(q\)。
- 询问 \(\{a,b\}\)，设回复为 \(r\)。
- 询问 \(\{a\}\)，设回复为 \(s\)。
- 若 \(\neg p\land q\land r\land\neg s\)，则 \(x\in\{a,b\}\)，排除元素 \(c\)。
- 否则，\(x\in\{b,c\}\)，排除元素 \(b\)。
当 \(n\le 2\) 时，对所有候选整数进行猜测。
CF1491D Zookeeper and The Infinite Zoo (CF \(\color{#0000ff}{1800}\))
有一个无数个节点的图，\(u\) 到 \(u+v\) 有单向边，当且仅当 \(u\operatorname{and}v=v\)。\(q\) 次询问，每次询问 \(u\) 是否能到 \(v\)。
\(1\le q\le 10^5\)，询问满足 \(1\le u,v < 2^{30}\)。
题解
显然 \(u > v\) 无解。
然后要求二进制任何一个后缀中 \(u\) 的 \(1\) 数量都不需要 \(v\) 的。
CF1753B Factorial Divisibility (CF \(\color{#0000ff}{1600}\))
判断 \(\sum\limits_{i=1}^na_i!\) 是否能被 \(x!\) 整除。
\(1\le n,x\le 5\times 10^5\)，\(1\le a_i\le x\)。
题解
有 \((k+1)\times k!=(k+1)!\)。
统计每一个数码的个数，然后进一遍位，如果 \(1\sim x-1\) 都进位没了就可行。
CF1753C Wish I Knew How to Sort (CF \(\color{#aa00aa}{2000}\))
给定长度为 \(n\) 的 \(\texttt{01}\) 串 \(a\)，每次操作等概率随机选取两个位置 \(i < j\)，若 \(a_i > a_j\)，交换 \(a_i\) 和 \(a_j\)，不论交换成功与否都算一次操作。求使数列升序的期望操作次数。
\(1\le n\le 2\times 10^5\)。
题解
设共有 \(x\) 个 \(\texttt{0}\) 和 \(n-x\) 个 \(\texttt{1}\)。
目标是将 \(a\) 变为 \(\texttt{00}\cdots\texttt{0|11}\cdots\texttt{1}\)，所有在左边内部交换或者右边内部交换的操作都是没有意义的，只有跨两边的交换才能使一对数归位（称为有效交换）。
设当前前 \(x\) 个位置有 \(k\) 个 \(\texttt{1}\)，则后 \(n-x\) 个位置也有 \(k\) 个 \(\texttt{0}\)，有效交换的概率为 \(\frac{k^2}{\binom{n}{2}}\)，期望是概率的倒数，又由期望的线性性易知答案为 \(\sum\limits_{i=1}^k\frac{\binom{n}{2}}{i^2}\)。
P2507 [SCOI2008] 配对
给定两个长度为 \(n\) 的序列 \(a,b\)，将 \(b\) 任意重排，要求 \(a_i\ne b_i\) 的情况下使得 \(\sum\limits_{i=1}^n|a_i-b_i|\) 最小。
\(1\le n\le 10^5\)。
题解
不妨设 \(a\) 升序。
显然无解当且仅当 \(n=1\) 且 \(a_1=b_1\)。
若不要求 \(a_i\ne b_i\)，则是一个经典的排序不等式贪心问题，将 \(b\) 升序即可。
但是要求 \(a_i\ne b_i\)，考虑在此基础上对 \(b\) 进行微调。如果 \(a_i=b_i\)，自然地想到可以通过前后错一个的方式来使它们不同，同时也不会导致所求增加太多。具体地，\(a_i\) 只可能跟 \(b_{i-2},b_{i-1},\cdots,b_{i+2}\) 搭配。
设 \(dp_i\) 表示考虑 \(a,b\) 排序后的前 \(i\) 项的答案，只需要考虑对应项直接配对、两对交错配对、三对轮换配对转移即可。
CF1650G Counting Shortcuts (CF \(\color{#ff8c00}{2100}\))
给定一个无向图，求与 \((s,t)\) 之间的最短路长度差不超过 \(1\) 的路径条数。
\(1\le n,m\le 2\times 10^5\)。
题解
首先建分层图，所有边分为层内边、层间边两类。
最短路数量容易在 BFS 时 DP 求出。
容易发现比最短路长度恰好多 \(1\) 的路径一定走恰好一条层内边。从 \(s,t\) 分别 BFS，枚举层内边利用 DP 数组算贡献即可。
CF1637D Yet Another Minimization Problem (CF \(\color{#0000ff}{1800}\))
给定两个长度为 \(n\) 的数组 \(a,b\)，可以选择若干下标 \(i\) 并交换 \(a_i,b_i\)，最小化 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i+1}^n(a_i+a_j)^2+\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i+1}^n(b_i+b_j)^2\)。
\(1\le n,\sum n,a_i,b_i\le 100\)。
题解
显然左边两项是定值，只需计算右边两项的最小值，DP 即可。
AGC044C Strange Dance (AT \(\color{#ff0000}{2889}\))
有一个初始为 \([0,1,2,\cdots,3^n-1]\) 的数列 \(a\)，进行 \(m\) 次操作：
- 操作一：第 \(i\) 个数移动到第 \(j\) 个位置，当且仅当它们的三进制表示中 \(1\) 对应 \(2\)，\(2\) 对应 \(1\)。
- 操作二：整个数列向右移动一位，最右边的移动到最左边。
\(1\le n\le 12\)，\(1\le m\le 2\times 10^5\)。
题解
本题用到了一个 Trie 树下标加一的 trick，详见 题解 [AGC044C] Strange Dance。
ABC259Ex Yet Another Path Counting (AT \(\color{#ff8000}{2406}\))
给定一个 \(n\times n\) 矩阵，只能向下或向右走，求起点终点数字一样的路径条数。
\(1\le n\le 500\)。
题解
每种颜色分开考虑。设计两种算法分别解决颜色多和少的问题，然后根号分治，详见 题解 [ABC259Ex] Yet Another Path Counting。
ARC121D 1 or 2 (AT \(\color{#ff8000}{2784}\))
有两个可重集 \(A,B\)，\(B\) 初始为 \(\varnothing\)。每次从 \(A\) 中删除一个或两个数，并将它们的和加入 \(B\) 中，重复操作直到 \(A=\varnothing\)。最小化 \(B\) 的极差。
\(1\le |A|\le 5\times 10^3\)。
题解
诈骗题，先观察如果必须删除两个数有什么性质，然后思考一个转化，详见 题解 [ARC121D] 1 or 2。
AGC047C Product Modulo (AT \(\color{#ff8000}{2496}\))
给定 \(n\) 个数，求他们两两的乘积对 \(200003\) 取模后的和。
\(1\le n\le 2\times 10^5\)。
题解
试着利用原根将两两的乘法化为卷积形式，然后使用 FFT 优化，详见 题解 [AGC047C] Product Modulo。
P4092 [HEOI2016/TJOI2016]树
有一棵 \(n\) 个节点的有根树，两种操作共 \(q\) 次：
- 标记一个节点。
- 询问离一个节点最近的标记过的祖先。
\(1\le n,q\le 10^5\)。
树剖解法并不够优美，试找出一种更简单的解法。
题解
记录每个点被标记次数，用并查集维护。若一个点被标记过至少一次，则令并查集中的父亲为自己；否则令并查集中的父亲为自己的父亲。
时间倒序离线。若为标记操作就将标记次数减一，当减为零时令并查集中的父亲为自己的父亲；若为查询操作，直接在并查集中找根。
CF576C Points on Plane (CF \(\color{#ff8c00}{2100}\))
好久以前做过的题，突然想起来就来补一下。
平面内有 \(n\) 个点 \(A_i(x_i,y_i)\)，定义两点间距离为曼哈顿距离。请将 \(n\) 个点重新排序，使得相邻两个点的距离和不超过 \(2.5\times 10^9\)。
\(1\le n\le 10^6\)，\(0\le x_i,y_i\le 10^6\)。
提示
将 \(A_i(x_i,y_i)\) 看成 \(Q_i[l_i,r_i]\)，有没有使你想到什么算法？
题解
把莫队的排序方法套过来即可，注意需要奇偶块优化。
P5089 [eJOI2018] 元素周期表 | CF1012B Chemical table (CF \(\color{#aa00aa}{1900}\))
有一个 \(n\times m\) 的表格，有 \(q\) 个位置被涂成黄色。你可以选择任意两行、两列，若交出的四个格子中有三个是黄色的，则可以不花费代价将第四个也涂黄。另外，你也可以花费 \(1\) 的代价指定任意一个格子涂黄。求将整个表格都涂黄的最少代价。
\(1\le n,m,q\le 2\times 10^5\)，注意不是 \(nm\) 的乘积。
题解有时间再更。
AT_ddcc2020_qual_e Majority of Balls (AT \(\color{#ff8000}{2436}\))
交互题。
有 \(2n\) 个数，其中 \(n\) 个是 \(1\) 另外 \(n\) 个是 \(-1\)。每次你可以查询任意 \(n\) 个数和的正负性，求出每个数。
\(1\le n\le 99\) 且 \(2\nmid n\)，询问次数不超过 \(210\)。
题解我做完再更。
ARC153C ± Increasing Sequence (AT \(\color{#0000ff}{1960}\))
给定 \(\pm 1\) 数列 \(a\)，构造等长数列 \(x\)，满足 \(|x_i|\le 10^{12}\)、序列严格递增且 \(\sum a_ix_i=0\)，或判定无解。
\(1\le n\le 2\times 10^5\)。
题解
考虑构造一个初始的 \(x\) 然后进行调整，详见 题解 ARC153C【± Increasing Sequence】。
ARC154D A + B > C ? (AT \(\color{#c0c000}{2265}\))
交互题。
有一个 \(1\sim n\) 的排列 \(p\)，每次可以询问 \((i,j,k)\)，交互库给出 \(p_i+p_j>p_k\) 是否成立，求出这个排列。
\(1\le n\le 2\times 10^3\)，询问次数不超过 \(2.5\times 10^4\)。
题解
考虑找出 \(1\) 的位置，然后 \(p_i+1>p_j\iff p_i\ge p_j\)，详见 题解 ARC154D【A + B > C ?】。
CF1375F Integer Game (CF 2600)
待添加。
ARC070F HonestOrUnkind (AT 3365)
待添加。
AGC019F Yes or No (AT 3742)
待添加。
CF1508D Swap Pass (CF 3000)
待添加。
AGC030D Inversion Sum | CF258D Little Elephant and Broken Sorting (AT 2712 | CF 2600)
待添加。
CF1260E Tournament (CF 2400)
待添加。
CF1545D AquaMoon and Wrong Coordinate (CF 3000)
待添加。
CF1768F Wonderful Jump (CF 2900)
待添加。
AGC002F Leftmost Ball (AT 3399)
待添加。
CF103119I Nim Cheater
待添加。
P4211 [LNOI2014]LCA
待添加。
CF1775E The Human Equation (CF 2100)
待添加。
ABC025D、CF1149D、P5304
