趣题记录（被鸽了）

趣题记录

为啥是趣题记录？

之前试过很多次按时间顺序编年体的做题记录，但是都因为在机房做题不方便更新、有些题没有什么意义等原因导致越攒越多，最后就咕掉了，因此决定试一试只记录有趣的题。

记录

CF55C Pie or die (CF $\color{#aa00aa}{1900}$)

$n\times m$ 棋盘上有 $k$ 个棋子，每回合 Alice 选择一个棋子并移到相邻的格子（四连通）或者移出棋盘（如果在边界），然后 Bob 在棋盘上（包括边界）添加一个挡板。如果 Alice 可以将至少一个棋子移出棋盘则获胜，请求出能否获胜。

$1\le n,m,k\le 100$。

题解

Alice 向棋盘一边移动一枚棋子，可能从两个角落移出，因此 Bob 会填补两个角落的四个出口，直到棋子到达边界。到达边界后，Bob 填补对应的出口，Alice 沿着边界移动，如果有一个出口未被填补则可以获胜。

容易发现 Bob 需要多执行四次操作，因此 Alice 获胜的充要条件为：至少存在一枚棋子，到达边界的距离不超过 $4$。

CF1060C Maximum Subrectangle (CF $\color{#0000ff}{1600}$)

给定 $a_{1,2,\cdots,n}$、$b_{1,2,\cdots,m}$ 和 $x$，定义 $c_{i,j}=a_ib_j$，求 $c$ 的最大子矩形面积，使得其中元素和不超过 $x$。

$1\le n,m,a_i,b_i\le 2\times 10^3$，$1\le x\le 2\times 10^9$。

题解

由乘法对加法的分配律知 $\sum\limits_{i=l_1}^{r_1}\sum\limits_{j=l_2}^{r_2}a_ib_j=\left(\sum\limits_{i=l_1}^{r_1}a_i\right)\left(\sum\limits_{j=l_2}^{r_2}b_j\right)$，前缀和维护之。

P8511 [Ynoi Easy Round 2021] TEST_68

给定一棵 $n$ 个节点的有根树，根节点为 $1$，第 $i$ 个点有点权 $a_i$。对于每个 $x\in[1,n]$，求出在以 $x$ 为根的子树外选两个点 $u,v$ 的 $a_u\oplus a_v$ 的最大值。

$1\le n\le 5\times 10^5$，$0\le a_i\le 10^{18}$。

题解

在全局求出最大异或和，设为 $k=a_u\oplus a_v$，则所有不在 $u,v$ 子树内的点的答案均为 $k$。因此我们只需要统计 $1$ 到 $u,v$ 的两条链上节点的答案。

从链顶向链底搜，求出当前节点答案后，将当前节点以及当前节点的不在链上的儿子的子树插入 01-Trie 树中，动态维护最大异或和以及产生最大异或和的一对节点即可。

CF1707E Replace (CF $\color{#000000}{3}\color{#ff0000}{500}$)

给定一个长度和值域均为 $n$ 的数列 $a$，定义 $f((l,r))=(\min\limits_{i=l}^ra_i,\max\limits_{i=l}^ra_i)$。共 $q$ 次询问，每次给定 $(l,r)$，求至少用 $f$ 迭代多少次使其变为 $(1,n)$，或判定无解。

$1\le n,q\le 10^5$。

题解

神题。

想到倍增，但是 $\Theta(n^2)$ 个区间显然没法记录。

$f$ 函数有个很好的性质：若区间 $I_1\cap I_2\ne\varnothing$，则 $f(I_1\cup I_2)=f(I_1)\cup f(I_2)$。感觉整道 *3500 题的难点就在这里。

如果想到这一性质，就可以通过类似 ST 表的方法，只记录长度 $2^k$ 的区间的倍增数组然后合并即可。

CF468C Hack it! (CF $\color{#ff0000}{2500}$)

定义 $f(x)$ 为 $x$ 的各数位之和，给定 $a$，构造一组 $(l,r)$ 使得 $\sum\limits_{i=l}^rf(i)\equiv 0\pmod{a}$。

$1\le a\le 10^{18}$，要求 $1\le l\le r\le 10^{200}$。

题解

神题。

注意到 $f(10^{18}+x)=f(x)+1$。

设 $\sum\limits_{i=0}^{10^{18}-1}f(i)\equiv p\pmod{a}$，注意到 $\sum\limits_{i=k}^{10^{18}-1+k}f(i)\equiv p+k\pmod{a}$，则 $k=a-p$ 时有 $p+k\equiv 0\pmod{a}$，$(l,r)=(a-p,10^{18}-1+a-p)$ 符合题意，只需求 $p$。

注意到 $p=81\times 10^{18}\bmod a$。

你问我怎么注意到？我也不知道，太神仙了。

CF1746E1 Joking (Easy Version) (CF $\color{#ff0000}{2500}$)

交互题。

给定 $n$，请猜测一个未知的整数 $x\in[1,n]$。

你可以进行至多 $82$ 次如下询问：

• 任选一个整数集合 $S\subset[1,n]$，询问 $x\in S$ 是否成立。
• 交互库会说谎话，但保证相邻两次回答至少有一次是真的。

你还可以进行至多 $2$ 次如下猜测：

• 任选一个整数 $y\in[1,n]$，询问 $x=y$ 是否成立。
• 交互库只说真话，当回复为成立时视为通过。

$1\le n\le 10^5$。

题解

设 $n$ 表示当前时刻候选的整数个数。

当 $n\ge 4$ 时，不断执行下列操作直到 $n < 4$：（有点四分查找的意思）

• 将候选整数平均分为 $A,B,C,D$ 四个集合。
• 询问 $A\cup B$，设回复为 $p$。
• 询问 $B\cup C$，设回复为 $q$。
• 若 $p\land q$，则 $x\in A\cup B\cup C$，排除集合 $D$。
• 若 $p\land\neg q$，则 $x\in A\cup B\cup D$，排除集合 $C$。
• 若 $\neg p\land q$，则 $x\in B\cup C\cup D$，排除集合 $A$。
• 若 $\neg p\land\neg q$，则 $x\in A\cup C\cup D$，排除集合 $B$。

当 $n=3$ 时，执行下列操作：

• 设候选整数为 $a,b,c$。
• 询问 $\{a\}$，设回复为 $p$。
• 询问 $\{a,b\}$，设回复为 $q$。
• 询问 $\{a,b\}$，设回复为 $r$。
• 询问 $\{a\}$，设回复为 $s$。
• 若 $\neg p\land q\land r\land\neg s$，则 $x\in\{a,b\}$，排除元素 $c$。
• 否则，$x\in\{b,c\}$，排除元素 $b$。

当 $n\le 2$ 时，对所有候选整数进行猜测。

CF1491D Zookeeper and The Infinite Zoo (CF $\color{#0000ff}{1800}$)

有一个无数个节点的图，$u$ 到 $u+v$ 有单向边，当且仅当 $u\operatorname{and}v=v$。$q$ 次询问，每次询问 $u$ 是否能到 $v$。

$1\le q\le 10^5$，询问满足 $1\le u,v < 2^{30}$。

题解

显然 $u > v$ 无解。

然后要求二进制任何一个后缀中 $u$ 的 $1$ 数量都不需要 $v$ 的。

CF1753B Factorial Divisibility (CF $\color{#0000ff}{1600}$)

判断 $\sum\limits_{i=1}^na_i!$ 是否能被 $x!$ 整除。

$1\le n,x\le 5\times 10^5$，$1\le a_i\le x$。

题解

有 $(k+1)\times k!=(k+1)!$。

统计每一个数码的个数，然后进一遍位，如果 $1\sim x-1$ 都进位没了就可行。

CF1753C Wish I Knew How to Sort (CF $\color{#aa00aa}{2000}$)

给定长度为 $n$ 的 $\texttt{01}$ 串 $a$，每次操作等概率随机选取两个位置 $i < j$，若 $a_i > a_j$，交换 $a_i$ 和 $a_j$，不论交换成功与否都算一次操作。求使数列升序的期望操作次数。

$1\le n\le 2\times 10^5$。

题解

设共有 $x$ 个 $\texttt{0}$ 和 $n-x$ 个 $\texttt{1}$。

目标是将 $a$ 变为 $\texttt{00}\cdots\texttt{0|11}\cdots\texttt{1}$，所有在左边内部交换或者右边内部交换的操作都是没有意义的，只有跨两边的交换才能使一对数归位（称为有效交换）。

设当前前 $x$ 个位置有 $k$ 个 $\texttt{1}$，则后 $n-x$ 个位置也有 $k$ 个 $\texttt{0}$，有效交换的概率为 $\frac{k^2}{\binom{n}{2}}$，期望是概率的倒数，又由期望的线性性易知答案为 $\sum\limits_{i=1}^k\frac{\binom{n}{2}}{i^2}$。

P2507 [SCOI2008] 配对

给定两个长度为 $n$ 的序列 $a,b$，将 $b$ 任意重排，要求 $a_i\ne b_i$ 的情况下使得 $\sum\limits_{i=1}^n|a_i-b_i|$ 最小。

$1\le n\le 10^5$。

题解

不妨设 $a$ 升序。

显然无解当且仅当 $n=1$ 且 $a_1=b_1$。

若不要求 $a_i\ne b_i$，则是一个经典的排序不等式贪心问题，将 $b$ 升序即可。

但是要求 $a_i\ne b_i$，考虑在此基础上对 $b$ 进行微调。如果 $a_i=b_i$，自然地想到可以通过前后错一个的方式来使它们不同，同时也不会导致所求增加太多。具体地，$a_i$ 只可能跟 $b_{i-2},b_{i-1},\cdots,b_{i+2}$ 搭配。

设 $dp_i$ 表示考虑 $a,b$ 排序后的前 $i$ 项的答案，只需要考虑对应项直接配对、两对交错配对、三对轮换配对转移即可。

CF1650G Counting Shortcuts (CF $\color{#ff8c00}{2100}$)

给定一个无向图，求与 $(s,t)$ 之间的最短路长度差不超过 $1$ 的路径条数。

$1\le n,m\le 2\times 10^5$。

题解

首先建分层图，所有边分为层内边、层间边两类。

最短路数量容易在 BFS 时 DP 求出。

容易发现比最短路长度恰好多 $1$ 的路径一定走恰好一条层内边。从 $s,t$ 分别 BFS，枚举层内边利用 DP 数组算贡献即可。

CF1637D Yet Another Minimization Problem (CF $\color{#0000ff}{1800}$)

给定两个长度为 $n$ 的数组 $a,b$，可以选择若干下标 $i$ 并交换 $a_i,b_i$，最小化 $\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i+1}^n(a_i+a_j)^2+\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i+1}^n(b_i+b_j)^2$。

$1\le n,\sum n,a_i,b_i\le 100$。

题解

$$\begin{aligned} &\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i+1}^n(a_i+a_j)^2+\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i+1}^n(b_i+b_j)^2\\ =&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i+1}^n(a_i^2+a_j^2+2a_ia_j)+\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i+1}^n(b_i^2+b_j^2+2b_ib_j)\\ =&(n-1)\sum\limits_{i=1}^na_i^2+(n-1)\sum\limits_{i=1}^nb_i^2+2\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=i+1}^na_ia_j+2\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=i+1}^nb_ib_j \end{aligned}$$

显然左边两项是定值，只需计算右边两项的最小值，DP 即可。

AGC044C Strange Dance (AT $\color{#ff0000}{2889}$)

有一个初始为 $[0,1,2,\cdots,3^n-1]$ 的数列 $a$，进行 $m$ 次操作：

• 操作一：第 $i$ 个数移动到第 $j$ 个位置，当且仅当它们的三进制表示中 $1$ 对应 $2$，$2$ 对应 $1$。
• 操作二：整个数列向右移动一位，最右边的移动到最左边。

$1\le n\le 12$，$1\le m\le 2\times 10^5$。

题解

本题用到了一个 Trie 树下标加一的 trick，详见 题解 [AGC044C] Strange Dance。

ABC259Ex Yet Another Path Counting (AT $\color{#ff8000}{2406}$)

给定一个 $n\times n$ 矩阵，只能向下或向右走，求起点终点数字一样的路径条数。

$1\le n\le 500$。

题解

每种颜色分开考虑。设计两种算法分别解决颜色多和少的问题，然后根号分治，详见 题解 [ABC259Ex] Yet Another Path Counting。

ARC121D 1 or 2 (AT $\color{#ff8000}{2784}$)

有两个可重集 $A,B$，$B$ 初始为 $\varnothing$。每次从 $A$ 中删除一个或两个数，并将它们的和加入 $B$ 中，重复操作直到 $A=\varnothing$。最小化 $B$ 的极差。

$1\le |A|\le 5\times 10^3$。

题解

诈骗题，先观察如果必须删除两个数有什么性质，然后思考一个转化，详见 题解 [ARC121D] 1 or 2。

AGC047C Product Modulo (AT $\color{#ff8000}{2496}$)

给定 $n$ 个数，求他们两两的乘积对 $200003$ 取模后的和。

$1\le n\le 2\times 10^5$。

题解

试着利用原根将两两的乘法化为卷积形式，然后使用 FFT 优化，详见 题解 [AGC047C] Product Modulo。

P4092 [HEOI2016/TJOI2016]树

有一棵 $n$ 个节点的有根树，两种操作共 $q$ 次：

• 标记一个节点。
• 询问离一个节点最近的标记过的祖先。

$1\le n,q\le 10^5$。

树剖解法并不够优美，试找出一种更简单的解法。

题解

记录每个点被标记次数，用并查集维护。若一个点被标记过至少一次，则令并查集中的父亲为自己；否则令并查集中的父亲为自己的父亲。

时间倒序离线。若为标记操作就将标记次数减一，当减为零时令并查集中的父亲为自己的父亲；若为查询操作，直接在并查集中找根。

CF576C Points on Plane (CF $\color{#ff8c00}{2100}$)

好久以前做过的题，突然想起来就来补一下。

平面内有 $n$ 个点 $A_i(x_i,y_i)$，定义两点间距离为曼哈顿距离。请将 $n$ 个点重新排序，使得相邻两个点的距离和不超过 $2.5\times 10^9$。

$1\le n\le 10^6$，$0\le x_i,y_i\le 10^6$。

提示

将 $A_i(x_i,y_i)$ 看成 $Q_i[l_i,r_i]$，有没有使你想到什么算法？

题解

把莫队的排序方法套过来即可，注意需要奇偶块优化。

P5089 [eJOI2018] 元素周期表 | CF1012B Chemical table (CF $\color{#aa00aa}{1900}$)

有一个 $n\times m$ 的表格，有 $q$ 个位置被涂成黄色。你可以选择任意两行、两列，若交出的四个格子中有三个是黄色的，则可以不花费代价将第四个也涂黄。另外，你也可以花费 $1$ 的代价指定任意一个格子涂黄。求将整个表格都涂黄的最少代价。

$1\le n,m,q\le 2\times 10^5$，注意不是 $nm$ 的乘积。

题解有时间再更。

AT_ddcc2020_qual_e Majority of Balls (AT $\color{#ff8000}{2436}$)

交互题。

有 $2n$ 个数，其中 $n$ 个是 $1$ 另外 $n$ 个是 $-1$。每次你可以查询任意 $n$ 个数和的正负性，求出每个数。

$1\le n\le 99$ 且 $2\nmid n$，询问次数不超过 $210$。

题解我做完再更。

ARC153C ± Increasing Sequence (AT $\color{#0000ff}{1960}$)

给定 $\pm 1$ 数列 $a$，构造等长数列 $x$，满足 $|x_i|\le 10^{12}$、序列严格递增且 $\sum a_ix_i=0$，或判定无解。

$1\le n\le 2\times 10^5$。

题解

考虑构造一个初始的 $x$ 然后进行调整，详见 题解 ARC153C【± Increasing Sequence】。

ARC154D A + B > C ? (AT $\color{#c0c000}{2265}$)

交互题。

有一个 $1\sim n$ 的排列 $p$，每次可以询问 $(i,j,k)$，交互库给出 $p_i+p_j>p_k$ 是否成立，求出这个排列。

$1\le n\le 2\times 10^3$，询问次数不超过 $2.5\times 10^4$。

题解

考虑找出 $1$ 的位置，然后 $p_i+1>p_j\iff p_i\ge p_j$，详见 题解 ARC154D【A + B > C ?】。

CF1375F Integer Game (CF 2600)

待添加。

ARC070F HonestOrUnkind (AT 3365)

待添加。

AGC019F Yes or No (AT 3742)

待添加。

CF1508D Swap Pass (CF 3000)

待添加。

AGC030D Inversion Sum | CF258D Little Elephant and Broken Sorting (AT 2712 | CF 2600)

待添加。

CF1260E Tournament (CF 2400)

待添加。

CF1545D AquaMoon and Wrong Coordinate (CF 3000)

待添加。

CF1768F Wonderful Jump (CF 2900)

待添加。

AGC002F Leftmost Ball (AT 3399)

待添加。

CF103119I Nim Cheater

待添加。

P4211 [LNOI2014]LCA

待添加。

CF1775E The Human Equation (CF 2100)

待添加。

ABC025D、CF1149D、P5304