板刷 DP

板刷 DP

前言

由于自己 DP 太菜了，因此打算板刷一波（？

不知道能坚持多久，尽量搞下去吧。

存几个题单（不分先后）：

• 【动态规划】普及~省选的dp题
• codeforces 2000左右的dp题
• codeforces 2100左右的dp题
• Educational DP Contest (AtCoder)

20220618

CF66E Petya and Post

环形 DP。

从顺逆时针分别考虑，假设 ${dp}_i$ 表示从 $i$ 出发整个过程中油量最小值，预处理出一个值然后递推即可。

递推式为 ${dp}_i={dp}_{i+1}+a_i-b_i$，另一方向同理，复杂度 $\mathcal O(n)$。

P3914 染色计数

树形 DP。

容易得到一个 $\mathcal O(n^3)$ 做法（$n,m$ 同阶），即设 ${dp}_{i,j}$ 表示考虑 $i$ 子树内，$i$ 号点颜色为 $j$ 的方案数，然后暴力枚举所有儿子颜色，根据乘法原理进行转移。

设 ${sum}_i=\sum\limits_{j=1}^m{dp}_{i,j}$，就可以省下暴力枚举儿子颜色部分的复杂度，降为 $\mathcal O(n^2)$（$n,m$ 同阶）。

AT4537 Independent Set

树形 DP。

设 ${dp}_{i,0/1}$ 表示考虑 $i$ 子树内，$i$ 号点是白色还是黑色的方案数，根据乘法原理进行转移，复杂度 $\mathcal O(n)$。

CF455A Boredom

线性 DP。

设 ${dp}_i$ 表示在 $1\sim i$ 选择若干个数的最大价值，则 ${dp}_i=\max\{{dp}_{i-1},{dp}_{i-2}+i\cdot {cnt}_i\}$，其中 ${cnt}_i$ 是 $i$ 的出现次数，复杂度 $\mathcal O(n)$（$n,w$ 同阶）。

20220621

先记在这里，有时间补一下。

https://hydro.ac/d/bzoj/p/1688 和 https://www.luogu.com.cn/problem/P2135 & https://www.luogu.com.cn/problem/UVA10559 的双倍经验。

20220702

CF1689C Infected Tree

树形 DP。

设 ${sz}_u$ 表示 $u$ 子树大小，${dp}_u$ 表示 $u$ 子树内当 $u$ 感染时的答案为多少，转移时分类讨论：

• 若 $u$ 是叶子，${dp}_u=0$。
• 若 $u$ 有一个儿子 $v$，${dp}_u={sz}_v-1$。
• 若 $u$ 有两个儿子 $v,w$，${dp}_u=\max\{{sz}_v-1+{dp}_w,{sz}_w-1+{dp}_v\}$。

第一次 dfs 处理 $sz$ 和儿子，第二次 dfs 进行 DP 即可，复杂度 $\mathcal O(n)$。

P2150 [NOI2015] 寿司晚宴 ※

神仙状压 DP+根号分治+容斥，当然我觉得神仙大概是因为我太菜了。

思路和代码见云剪贴板。

复杂度 $\mathcal O(n\cdot 2^{2\pi(\sqrt{n})})$，其中 $\pi(x)$ 表示 $1\sim x$ 质数个数。